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1、1一 数学归纳法1数学归纳法的概念先证明当 n 取第一个值 n0(例如可取 n01)时命题成立，然后假设当n k(kN ， k n0)时命题成立，证明当 n k1 时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明3数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤(1)证明当 n 取第一个值 n0(如取 n01 或 2 等)时命题成立；(2)假设当 n k(kN ， k n0)时命题成立，证明当 n k1 时命题也成立由此可以断定，对于任意不小于 n0的正整数 n，命题都成立利用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明 122 23 24

2、 2(1) n1 n2(1) n1 .n(n 1)2思路点拨 首先判断第 1 步是否满足，然后考虑由 n k 到 n k1 时增加了哪些项，进行分析变形，从而证明等式证明 (1)当 n1 时，左边1 21，右边(1) 0 1，所以等式成1(1 1)2立(2)假设 n k(kN ， k1)时，等式成立，即有 122 23 24 2(1)k1 k2(1) k1 .k(k 1)2那么，当 n k1 时，则有122 23 24 2(1) k1 k2(1) k(k1) 2(1) k1 (1) k(k1) 2k(k 1)2(1) k k2( k1)k 12(1) k ，(k 1)(k 2)2所以 n k1

3、 时，等式也成立2由(1)(2)得对任意 nN ，有 122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 .n(n 1)2利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 n n0时命题的形式，二是要准确把握由 n k 到 n k1 时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明n k1 成立时，必须使用归纳假设1在用数学归纳法证明，对任意的正偶数 n，均有1 2Error!12 13 14 1n 1 1nError!成立时，(1)第一步检验的初始值 n0是多少？(2)第二步归纳假设 n2 k 时( kN )等式成立，需证明 n 为何值时，方具有递推性；(3)若第二步归纳假设 n k(

4、k 为正偶数)时等式成立，需证明 n 为何值时，等式成立解：(1) n0为 2.此时左边为 1 ，右边为 2 .12 14 12(2)假设 n2 k(kN )时，等式成立，就需证明 n2 k2(即下一个偶数)时，命题也成立(3)若假设 n k(k 为正偶数)时，等式成立，就需证明 n k2(即 k 的下一个正偶数)时，命题也成立2用数学归纳法证明： (nN )1213 2235 n2(2n 1)(2n 1) n(n 1)2(2n 1)证明：(1)当 n1 时，左边 ，1213 13右边 ，1(1 1)2(21 1) 13左边右边，等式成立(2)假设 n k(kN ， k1)时，等式成立即 ，1

5、213 2235 k2(2k 1)(2k 1) k(k 1)2(2k 1)当 n k1 时，左边 1213 2235 k2(2k 1)(2k 1) (k 1)2(2k 1)(2k 3) k(k 1)2(2k 1) (k 1)2(2k 1)(2k 3)3k(k 1)(2k 3) 2(k 1)22(2k 1)(2k 3)(k 1)(2k2 5k 2)2(2k 1)(2k 3) ，(k 1)(k 2)2(2k 3)当 n k1 时，等式也成立由(1)(2)知对任意 nN ，等式成立用数学归纳法证明整除问题例 2 求证： an1 ( a1) 2n1 能被 a2 a1 整除( nN )证明 (1)当 n

6、1 时， a2( a1) a2 a1，可被 a2 a1 整除(2)假设 n k(kN ， k1)时， ak1 ( a1) 2k1 能被 a2 a1 整除，则当 n k1 时，ak2 ( a1) 2k1 aak1 ( a1) 2(a1) 2k1 aak1 a(a1) 2k1 ( a2 a1)( a1) 2k1 aak1 ( a1) 2k1 ( a2 a1)( a1) 2k1 ，由假设可知 aak1 ( a1) 2k1 能被 a2 a1 整除，所以 ak2 ( a1) 2k1 能被 a2 a1 整除，即 n k1 时命题也成立由(1)(2)可知命题对所有 nN 都成立利用数学归纳法证明整除时，关键

7、是整理出除数因式与商数因式积的形式这就往往要涉及到“添项” “减项” “因式分解”等变形技巧，凑出 n k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证3用数学归纳法证明：(3 n1)7 n1( nN )能被 9 整除证明：(1)当 n1 时，47127 能被 9 整除命题成立(2)假设 n k 时命题成立，即(3 k1)7 k1 能被 9 整除，当 n k1 时，(3k3)17 k1 13 k1377 k17(3 k1)7 k1217 k(3 k1)7 k118 k7k67 k217 k(3 k1)7 k118 k7k277 k，由归纳假设(3 k1)7 k1 能被 9 整除，4又因为 18 k7k

8、277 k也能被 9 整除，所以3( k1)17 k1 1 能被 9 整除，即 n k1 时命题成立则由(1)(2)可知对所有正整数 n 命题成立4用数学归纳法证明：1(3 x)n(nN )能被 x2 整除证明：(1) n1 时，1(3 x)( x2)，能被 x2 整除，命题成立(2)假设 n k(k1)时，1(3 x)n能被 x2 整除，则可设 1(3 x)k( x2) f(x)(f(x)为 k1 次多项式)，当 n k1 时，1(3 x)k1 1(3 x)(3 x)k1(3 x)1( x2) f(x)1(3 x)( x2)(3 x)f(x)( x2)( x2)(3 x)f(x)( x2)1

9、(3 x)f(x)，能被 x2 整除，即当 n k1 时命题成立由(1)(2)可知，对 nN ，1(3 x)n能被 x2 整除.用数学归纳法证明几何问题例 3 平面上有 n(n2，且 nN )条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这 n 条直线共有 f(n) 个交点n(n 1)2思路点拨 本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n 的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明证明 (1)当 n2 时，符合条件是两直线只有 1 个交点，又 f(2) 2(21)1.12当 n2 时，命题成立(2)假设当 n k(k2 且 kN )时命题成立，就是该平面内满足

10、题设的任何 k 条直线的交点个数为 f(k) k(k1)，12则当 n k1 时，任取其中一条直线记为 l，如图，剩下的 k 条直线为 l1， l2， lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为 f(k) .k(k 1)2由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线 l 与5l1， l2， l3， lk的交点共有 k 个 f(k1) f(k) k kk(k 1)2 k2 k2 .k(k 1)2 (k 1)(k 1) 12当 n k1 时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切 nN 且 n2 成立用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从 n k 到 n k1 时，新增加的量是多

11、少一般地，证明第二步时，常用的方法是加 1 法，即在原来 k 的基础上，再增加一个，当然我们也可以从 k1 个中分出 1 个来，剩下的 k 个利用假设5求证：凸 n 边形对角线条数 f(n) (nN ， n3)n(n 3)2证明：(1)当 n3 时，即 f(3)0 时，三角形没有对角线，命题成立(2)假设 n k(kN ， k3)时命题成立，即凸 k 边形对角线条数 f(k) .将k(k 3)2凸 k 边形 A1A2Ak在其外面增加一个新顶点 Ak1 ，得到凸 k1 边形 A1A2AkAk1 ， Ak1 依次与 A2， A3， Ak1 相连得到对角线 k2 条，原凸 k 边形的边 A1Ak变成

12、了凸 k1 边形的一条对角线，则凸 k1 边形的对角线条数为f(k) k21 k1k(k 3)2 (k 1)(k 2)2 f(k1)，(k 1)(k 1) 32即当 n k1 时，结论正确根据(1)(2)可知，命题对任何 nN ， n3 都成立6求证：平面内有 n(n2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成 n2条线段(或射线)证明：(1)当 n2 时，两条直线不平行，彼此互相分割成 4 条射线，命题成立(2)假设当 n k 时，命题成立，即 k 条满足条件的直线彼此互相分割成 k2条线段(或射线)那么 n k1 时，取出其中一条直线为 l，其余 k

13、条直线彼此互相分割成 k2条线段(或射线)，直线 l 把这 k 条直线又一分为二，多出 k 条线段(或射线)； l 又被这 k 条直线分成k1 部分，所以这 k1 条直线彼此互相分割成 k2 k k1( k1) 2条线段(或射线)，6即 n k1 时，命题成立由(1)(2)知，命题成立1数学归纳法证明中，在验证了 n1 时命题正确，假定 n k 时命题正确，此时 k 的取值范围是( )A kN B k1， kN C k1， kN D k2， kN 解析：选 C 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法，所以 k 是正整数，又第一步是递推的基础，所以 k 大于等于 1.2用数学归纳法证明

14、“122 22 n2 2 n3 1” ，在验证 n1 时，左边计算所得的式子为( )A1 B12C122 2 D122 22 3.解析：选 D 当 n1 时，左边122 22 3.3用数学归纳法证明“ n3( n1) 3( n2) 3(nN )能被 9 整除” ，利用归纳法假设证明 n k1 时，只需展开( )A( k3) 3 B( k2) 3C( k1) 3 D( k1) 3( k2) 3解析：选 A 假设 n k 时，原式 k3( k1) 3( k2) 3能被 9 整除，当 n k1 时，(k1) 3( k2) 3( k3) 3为了能用上面的归纳假设，只需将( k3) 3展开，让其出现 k

15、3即可4平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为( )A n1 B2 nC. D n2 n1n2 n 22解析：选 C 1 条直线将平面分成 11 个区域；2 条直线最多可将平面分成 1(12)4 个区域；3 条直线最多可将平面分成 1(123)7 个区域； n 条直线最多可将平面分成 1(123 n)1 个区域n(n 1)2 n2 n 225观察式子 11,14(12)，149123，猜想第 n 个式子应为_答案：14916(1) n1 n2(1) n1 n(n 1)26用数学归纳法证明：“1427310 n(3n1) n(n1) 2.nN ”时，7若

16、n1，则左端应为_解析： n1 时，左端应为 144.答案：47记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k1 边形的内角和 f(k1) f(k)_.解析：由凸 k 边形变为凸 k1 边形时，增加了一个三角形图形故 f(k1) f(k).答案：8用数学归纳法证明对于整数 n0， An11 n2 12 2n1 能被 133 整除证明：(1)当 n0 时， A011 212133 能被 133 整除(2)假设 n k 时， Ak11 k2 12 2k1 能被 133 整除当 n k1 时，Ak1 11 k3 12 2k3 1111 k2 12 2122k11111 k2 1112 2k1 (12

17、211)12 2k111(11 k2 12 2k1 )13312 2k1 . n k1 时，命题也成立根据(1)(2)可知，对于任意整数 n0，命题都成立9有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这 n 个圆将平面分成 f(n) n2 n2( nN )个部分证明：(1)当 n1 时，一个圆将平面分成两个部分，且 f(1)1122，所以n1 时命题成立(2)假设 n k(k1)时命题成立即 k 个圆把平面分成 f(k) k2 k2 个部分则 n k1 时，在 k1 个圆中任取一个圆 O，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分，而圆 O 与 k 个圆有 2k 个交点

18、，这 2k 个点将圆 O 分成 2k 段弧，每段弧将原平面一分为二，故得 f(k1) f(k)2 k k2 k22 k( k1) 2( k1)2.当 n k1 时，命题成立综合(1)(2)可知，对一切 nN ，命题成立10试用 n(n2， nN )表示 的值，并用数学归(114)(1 19) (1 116) (1 1n2)纳法证明解：当 n2 时，原式1 ；14 34当 n3 时，原式 ；(114)(1 19) 468当 n4 时，原式 .(114)(1 19)(1 116) 58猜想 .(114)(1 19) (1 1n2) n 12n下面用数学归纳法证明这个结论(1)当 n2 时，易知结论成立(2)假设 n k(kN ， k2)时结论成立，即 ，(114)(1 19) (1 1k2) k 12k则当 n k1 时，(114)(1 19) (1 1k2)1 1(k 1)2 ，k 12k k(k 2)(k 1)2 k 22(k 1) (k 1) 12(k 1)即当 n k1 时，结论成立由(1)(2)可知对一切 nN ，结论都成立