1、182.2 条件概率读教材填要点1条件概率设 A， B 是事件，且 P(A)0，以后总是用 P(B|A)表示在已知 A 发生的条件下 B 发生的条件概率，简称条件概率2条件概率的计算公式如果 P(A)0，则 P(B|A) .P A BP A3条件概率的性质 P(B|A)0,1如果 B 与 C 为两个互斥事件，则 P(B C|A) P(B|A) P(C|A)小问题大思维1 P(B|A) P(A B)吗？提示：事件( B|A)是指在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生，而事件 A B 是指事件 A与事件 B 同时发生，故 P(B|A) P(A B)2 P(B|A)和 P(A|B)相同吗？提示：
2、P(B|A)是指在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，而 P(A|B)是指在事件B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，因此 P(B|A)和 P(A|B)不同条件概率的计算例 1 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题如果不放回地依次抽取 2 道题，求：(1)第 1 次抽到理科题的概率；(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率；(3)在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率解 设第 1 次抽到理科题为事件 A，第 2 次抽到理科题为事件 B，则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事件 A B.(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的基本事件总数
3、为 A 20.25事件 A 所含基本事件的总数为 A A 12.13 14故 P(A) .1220 35(2)因为事件 A B 含 A 6 个基本事件232所以 P(A B) .620 310(3)法一：由(1)、(2)可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为P(B|A) .P A BP A31035 12法二：因为事件 A B 含 6 个基本事件，事件 A 含 12 个基本事件，所以 P(B|A) 612.12条件概率的计算方法有两种：(1)利用定义计算，先分别计算概率 P(A B)和 P(A)，然后代入公式 P(B|A).P A BP A(2)利用缩小样本空间计算
4、(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间 缩小为已知的事件 A，原来的事件 B 缩小为 AB，利用古典概型计算概率： P(B|A) .n A Bn A1抛掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”(1)求 P(A)， P(B)， P(A B)；(2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，问两颗骰子的点数之和大于 8 的概率为多少？解：(1)设 x 为掷红骰子得的点数， y 为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x， y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图显然： P(A) ，1236 13P(B) ， P(A B) .103
5、6 518 536(2)法一： P(B|A) .n A Bn A 5123法二： P(B|A) .P A BP A53613 512条件概率的应用例 2 在一个袋子中装有 10 个球，设有 1 个红球，2 个黄球，3 个黑球，4 个白球，从中依次摸 2 个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率解 法一：设“摸出第一个球为红球”为事件 A， “摸出第二个球为黄球”为事件B， “摸出第二个球为黑球”为事件 C，则 P(A) ， P(AB) ，110 12109 145P(AC) .13109 130 P(B|A) ，P ABP A145110 1045 29P(C|A) .P
6、ACP A130110 13 P(B C|A) P(B|A) P(C|A) .29 13 59所求的条件概率为 .59法二： n(A)1C 9， n(B C|A)C C 5，19 12 13 P(B C|A) .59所求的条件概率为 .59利用公式 P(B C|A) P(B|A) P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“ B 与 C 互斥” 2在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出 6 道题，若考生至少能答对其中的 4 道题即可通过；若至少能答对其中 5 道题就获得优秀，已知某考生能答对其中 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率解
7、：设事件 A 为“该考生 6 道题全答对” ，事件 B 为“该考生答对了其中 5 道题，另一4道答错” ，事件 C 为“该考生答对了其中 4 道题，而另 2 道题答错” ，事件 D 为“该考生在这次考试中通过” ，事件 E 为“该考生考试中获得优秀” ，则 A、 B、 C 两两互斥，且D A B C， E A B，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D) P(A B C) P(A) P(B) P(C) ，C610C620 C510C10C620 C410C210C620 12 180C620P(A D) P(A)， P(B D) P(B)，P(E|D) P(A B|D) P(A|D) P(B
8、|D) .P AP D P BP D210C62012 180C6202 520C62012 180C620 1358故所求的概率为 .1358解题高手 妙解题盒子里装有 16 个球，其中 6 个是玻璃球，10 个是木质球，玻璃球中有 2 个是红球，4个是蓝球；木质球中有 3 个是红球，7 个是蓝球现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？尝试 巧思 本题数据较多，关系有点复杂，可采用列表方法理顺关系，这样不仅过程简单，同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率妙解 设事件 A：“任取一个球，是玻璃球” ；事件 B：“任取一球，是蓝球” 由题中数
9、据可列表如下：红球 蓝球 小计玻璃球 2 4 6木质球 3 7 10小计 5 11 16由表知， P(B) ， P(A B) ，1116 416故所求事件的概率为 P(A|B) .P A BP B4161116 41151若 P(A) ， P(B|A) ，则 P(A B)等于( )34 12A. B.23 38C. D.13 58解析：选 B 利用条件概率的乘法公式求解P(A B) P(A)P(B|A) .34 12 382用“0” “1”“2”组成的三位数码组中，若用 A 表示“第二位数字为 0”的事件，用 B 表示“第一位数字为 0”的事件，则 P(A|B)( )A. B. C. D.12
10、 13 14 18解析：选 B P(B) ， P(AB) ，33333 13 3333 19 P(A|B) ，故选 B.P ABP B 133从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A：“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件B：“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)等于( )A. B.18 14C. D.25 12解析：选 B P(A) ， P(AB) ，由条件概率的计算公式得 P(B|A)C23 C2C25 25 C2C25 110 .P ABP A11025 144若 P(A) ， P(B) ， P(A B) ，则 P(A|B)_， P(B|A)_.310 410
11、110解析： P(A|B) ，P A BP B 14P(B|A) .P A BP A 13答案： 14 1365.如图， EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ， B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ，则(1)P(A)_；(2) P(B|A)_.解析：圆的面积是 ，正方形的面积是 2，扇形的面积是 ，根据几何概型的概率计 4算公式得 P(A) ，根据条件概率的公式得 P(B|A) .2 P A BP A12 2 14答案：(1) (2)2 146某校高三(1)班有学生 40 人，其中
12、共青团员 15 人全班平均分成 4 个小组，其中第一组有共青团员 4 人从该班任选一人作学生代表(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率解：设事件 A 表示“选到第一组学生” ，事件 B 表示“选到共青团员” (1)由题意， P(A) .1040 14(2)法一：要求的是在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率 P(A|B)不难理解，在事件 B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有 15 种不同的选择，其中属于第一组的有 4 种选择因此， P(A|B) .415法二： P(B) ， P(AB) ，1540 38 440 1
13、10 P(A|B) .P ABP B 415一、选择题71设 P(A|B) P(B|A) ， P(A) ，则 P(B)等于( )12 13A. B.12 13C. D.14 16解析：选 B P(A B) P(A)P(B|A) ，13 12 16由 P(A|B) ，得 P(B) 2 .P A BP B P A BP A|B 16 1324 张奖券中只有一张能中奖，现分别由 4 名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A. B.14 13C. D112解析：选 B 设第一名同学没有抽到中奖券为事件 A，最后一名同学抽到中奖券为事件B，则 P(B|
14、A) .P A BP A 133某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A0.8 B0.75C0.6 D0.45解析：选 A 根据条件概率公式 P(B|A) ，可得所求概率为 0.8.P ABP A 0.60.754从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中任意抽出 2 张，将其中 1 张放到验钞机上检验发现是假钞，则第 2 张也是假钞的概率为( )A. B.119 1738C. D.419 217解析：选 D 设事件 A 表示“抽到 2 张都是假钞” ，事件 B 为“2
15、 张中至少有一张假钞” ，所以为 P(A|B). 而 P(AB) ， P(B) .C25C20 119 C25 C15C15C20 17388 P(A|B) .P ABP B 217二、填空题5有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机抽取 1 粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为_解析：记“种子发芽”为事件 A， “种子长成幼苗”为事件 AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为 P(B|A)0.8，又 P(A)0.9.故 P(AB) P(B|A)P(A)0.72.答案：0.7266 位同学参加百米短跑比赛，赛场共有 6 条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同
16、学排在第二跑道的概率是_解析：甲排在第一跑道，其他同学共有 A 种排法，乙排在第二跑道共有 A 种排法，5 4所以所求概率为 .A4A5 15答案：157100 件产品中有 5 件次品，不放回地抽取两次，每次抽 1 件，已知第一次抽出的是次品，则第 2 次抽出正品的概率为_解析：设“第一次抽到次品”为事件 A， “第二次抽到正品”为事件 B，则 P(A) ， P(AB) ，5100 120 C15C195A2100 19396所以 P(B|A) .P ABP A 9599答案：95998抛掷一枚骰子，观察出现的点数，记 A出现的点数为奇数1,3,5， B出现的点数不超过 31,2,3若已知出现
17、的点数不超过 3，则出现的点数是奇数的概率为_解析：由题意知 n(B)3， n(A B)2，故在出现的点数不超过 3 的条件下，出现的点数是奇数的概率为P(A|B) .n A Bn B 23答案：23三、解答题9一个盒子中有 6 只好晶体管，4 只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率解：令 A第 1 只是好的， B第 2 只是好的，9法一： n(A)C C ， n(AB)C C ，1619 1615故 P(B|A) .n ABn A C16C15C16C19 59法二：因事件 A 已发生(已知)，故我们只研究事件 B 发生便可，在 A 发生的
18、条件下，盒中仅剩 9 只晶体管，其中 5 只好的，所以 P(B|A) .C15C19 5910一袋中装有 6 个黑球，4 个白球如果不放回地依次取出 2 个球求：(1)第 1 次取到黑球的概率；(2)第 1 次和第 2 次都取到黑球的概率；(3)在第 1 次取到黑球的条件下，第 2 次又取到黑球的概率解：设第 1 次取到黑球为事件 A，第 2 次取到黑球为事件 B，则第 1 次和第 2 次都取到黑球为事件 A B.(1)从袋中不放回地依次取出 2 个球的事件数为n( )A 90.210根据分步乘法计数原理， n(A)A A 54.于是16 19P(A) .n An 5490 35(2)因为 n(A B)A 30.26所以 P(A B) .n A Bn 3090 13(3)法一：由(1)(2)可得，在第 1 次取到黑球的条件下，第 2 次取到黑球的概率为P(B|A) .P A BP A1335 59法二：因为 n(A B)30， n(A)54，所以P(B|A) .n A Bn A 3054 5910
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