1、1第 2 讲 排列与组合考纲解读 理解排列组合的概念及排列数与组合数公式，并能用其解决一些简单的实际问题(重点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点命题方向. 预测 2020 年将会考查：有条件限制的排列组合问题；排列组合与其他知识的综合问题. 试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.1排列与组合的概念2排列数与组合数(1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的 所有不同排列的个数叫01 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 表示02 Amn(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的 所有不同组合的个数，0
2、3 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 表示04 Cmn3排列数、组合数的公式及性质24常用结论(1)A ( n m1)A ；mn m 1nA A ；mnnn m mn 1A nA .mn m 1n(2) nA A A ；n n 1 nA A mA .mn 1 mn m 1n(3)1！22！33！ nn！( n1)！1.(4)C C ；mnn m 1m m 1nC C ；mnnn m mn 1C C .mnnmm 1n(5) kC nC ；kn k 1nC C C C C .r rr 1 rr 2 rn r 1n1概念辨析(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( )(2)
3、一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序( )(3)从 2,4,6,8 任取两个数，分别作对数“log ”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题( )(4)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题( )(5)若组合式 C C ，则 x m 成立( )xn mn3答案 (1) (2) (3) (4) (5)2小题热身(1)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言( )A1560 条 B780 条 C1600 条 D800 条答案 A解析 由题意，得毕业留言共 A 1560 条240(2)从 6 名男生和 2
4、名女生中选出 3 名，其中至少有 1 名女生的选法共有_种答案 36解析 分两类：第 1 类是有 1 名女生，共有 C C 21530 种；12 26第 2 类是有 2 名女生，共有 C C 166 种2 16由分类加法计数原理得，共有 30636 种(3)有大小和形状完全相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，将它们排成一排，共有_种不同的排列方法答案 56解析 8 个小球排好后对应着 8 个位置，题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这 3 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题这样共有 C 56 种排法38(4)从 6 本不同的书中选出 4 本
5、，分别发给 4 个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有_种答案 240解析 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的 4 本中分一本，然后再选 3 本分给 3 个同学，故有 A A 240 种14 35题型 排列问题一7 位同学站成一排：(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？4(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？解 (1)
6、其中甲站在中间的位置，共有 A 720 种不同的排法6(2)甲、乙只能站在两端的排法共有 A A 240 种25(3)7 位同学站成一排，共有 A 种不同的排法；7甲排头，共有 A 种不同的排法；6乙排尾，共有 A 种不同的排法；6甲排头且乙排尾，共有 A 种不同的排法；5故共有 A 2A A 3720 种不同的排法7 6 5(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A 种方法，所以这样的6 2排法一共有 A A 1440 种62(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：
7、解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有A 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”25 4进行排列有 A 种方法，所以这样的排法一共有 A A A 960 种方法2 2542解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素若丙站在排头或排尾有 2A 种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有5(A 2A )A 960 种方法6 5 2解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，
8、因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有 A 种方法14再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑” ，所以5这样的排法一共有 A A A 960 种方法1452(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：解法一：(间接法)A A A 3600 种7 6 2解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A 种方法，此时他们留下六个位置(就称5为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A 种方法，所以一共有：A A26 263600 种5(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有 2520 种A7A2结论探究 1 若将举例说明结论变为“甲、乙、丙三
9、个同学都不能相邻” ，则有多少种不同的排法？解 先将其余四个同学排好，有 A 种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三4个空位安排甲、乙、丙，故共有 A A 1440 种方法435结论探究 2 若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？解 7 位同学站成一排，共有 A 种不同的排法；7甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A A 720 种535故共有 A A A 4320 种不同的排法7 53结论探究 3 (1)若将 7 人站成两排，前排 3 人，后排 4 人，共有多少种不同的排法？(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加 1 人，后排加 2 人，其他人保持相对位置不变，则有多
10、少种不同的加入方法？解 (1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A 5040 种不同的排法7(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有 3 种，第二步，前排 3 人形成了 4个空，任选一个空加一人，有 4 种，第三步，后排 4 人形成了 5 个空，任选一个空加一人有 5 种，此时形成 6 个空，任选一个空加一人，有 6 种，根据分步乘法计数原理有3456360 种方法1求解有限制条件排列问题的主要方法62解决有限制条件排列问题的策略(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类提醒：(1)分类要全，以免遗漏(2)
11、插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确.1一排 12 个座位坐了 4 个小组的成员，每个小组有 3 人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为( )AA (A )3 B(A )4A3 4 3 4C. D.A12A3 A12A4答案 B解析 12 个座位坐了 4 个小组的成员，每个小组有 3 人，操作如下：先分别把第1,2,3,4 小组的 3 个人安排坐在一起，各有 A 种不同的坐法，再把这 4 个小组进行全排列，3有 A 种不同的排法，根据分步乘法计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有(A )4A4 3
12、种不同的坐法42(2018青岛模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_答案 60解析 2 位男生不能连续出场的排法共有 N1A A 72(种)，女生甲排第一个且 23 24位男生不能连续出场的排法共有 N2A A 12(种)，所以出场顺序的排法种数为2 23N N1 N260.题型 组合问题二1将 12 个相同的小球放入编号分别为 1,2,3,4 的四个桶中，要求每个桶中放入球的数量不得少于该桶的编号，则分配方案有( )A10 种 B12 种 C14 种 D16 种答案
13、 A解析 解法一：根据题意，先在编号为 2,3,4 的 3 个桶中分别放入 1,2,3 个小球，编号为 1 的桶里不放球，再将剩下的 6 个小球放入四个桶里，每个桶里至少一个，将 6 个球排成一排，中间有 5 个空，插入 3 块挡板分为四堆放入四个桶中即可，共 C 10 种方法35解法二：先在编号为 1,2,3,4 的四个桶中分别放入与编号相同的球数，剩余 2 个球，把 2 个球放入同一个桶中有 4 种方法，2 个球放入不同的桶中有 C 6 种方法，所以分配24方案有 4610 种2在 AOB 的 OA 边上取 m 个点，在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外)，连同 O 点共7m n1
14、个点，现任取其中 3 个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为( )AC C C C BC C C C1m 12n 1n 12m 1m2n 1n2mCC C C C C C DC C C C1m2n 1n2m 1m1n 1m2n 2m 11m答案 C解析 作出的三角形可以分成两类，一类是含有 O 点的，另一类是不含 O 点的含有 O 点的，则在 OA， OB 上各取 1 个点，共有 C C 个；不含有 O 点的，则在 OA 上取一点，1m1nOB 上取两点，或者在 OA 上取两点， OB 上取一点，共有 C C C C 个所以可作的三角形1m2n 1n2m个数为 C C C C C C ，故选
15、 C.1m2n 1n2m 1m1n3从一架钢琴挑出的 10 个音键中，分别选择 3 个，4 个，5 个，10 个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为_(用数字作答)答案 968解析 依题意共有 8 类不同的和声，当有 k(k3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有 C 种不同的和声，则和声总数为k10C C C C 2 10C C C 102411045968.310 410 510 10 01 10 2101组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等(2)解题思路：分清问题是否
16、为组合问题；对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步” ，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题见举例说明 2.2两类带有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解见举例说明 3.1若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数
17、，则不同取法的种数是( )A60 B63 C65 D66答案 D解析 因为 1,2,3，9 中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使取出的 4 个不同的数的和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有C C C C 66 种不同的取法45 4 25242(2019豫南九校联考)某医院拟派 2 名内科医生、3 名外科医生和 3 名护士共 8 人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有( )A72 种 B36 种 C24 种 D18 种8答案 B解析 2 名内科医生，每村一名，有
18、 2 种方法；3 名外科医生和 3 名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有：则分 1 名外科医生、2 名护士和 2 名外科医生、1 名护士，若甲村有 1 名外科医生、2 名护士，则有 C C 9(种)，其余的分到乙村；1323若甲村有 2 名外科医生、1 名护士，则有 C C 9(种)，其余的分到乙村；2313则总的分配方案有 2(99)36(种)题型 排列组合的综合应用三角度 1 排列组合的简单应用1(1)某学校需从 3 名男生和 2 名女生中选出 4 人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派 2 人且至少有 1 名女生，乙地和丙地各需要选派 1 人，则不同的选派方法的种
19、数是( )A18 B24 C36 D42(2)(2019开封模拟)某班主任准备请 2016 届毕业生做报告，要从甲、乙等 8 人中选4 人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有_种(用数字作答)答案 (1)D (2)1080解析 (1)由题设可分两类：一类是甲地有 1 名女生，先考虑甲地，有 C C 种选法，1213再考虑乙、丙两地，有 A 种选法，共有 C C A 36(种)选法；另一类是甲地有 2 名女生，23 121323则甲地有 C 种选法，乙、丙两地有 A 种选法，共有 C A 6(种)选法由分类加法计数2 23 223原
20、理可得，不同的选派方法共有 36642(种)，应选 D.(2)若甲、乙同时参加，有 C C C A A 120 种，若甲、乙有一人参与，有2261222C C A 960 种，从而总共的发言顺序有 1080 种12364角度 2 分组分配问题2(1)将 6 名同学平均分成三组，每组两人，则不同的分组方法的种数为( )A60 B30 C15 D10(2)在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在 a， b， c 三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有( )A96 种 B124 种 C13
21、0 种 D150 种答案 (1)C (2)D解析 (1)平均分成三组的方法种数为 15.C26C24C2A3(2)五个参会国要在 a， b， c 三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，可以把 5 个参会国分成三组，一种是按照 1、1、3；另一种是 1、2、2.当按照 1、1、3 来分时，共有 C A 60(种)；当按照 1、2、2 来分时，共3539有 A 90(种)，C25C23A2 3根据分类加法计数原理知共有 6090150(种)，故选 D.1解决简单的排列与组合综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列(3)
22、由分类加法计数原理计算总数2分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 A (n 为均分的组数)，避免重复计数n对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数见举例说明 2(2)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.1某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额，其中甲大学 2
23、 个，乙大学 2 个，丙大学 1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A36 种 B24 种 C22 种 D20 种答案 B解析 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3 名男生每个大学各推荐 1 人，2 名女生分别推荐给甲大学和乙大学，有 A A 12 种推荐方法；第二种，将 3 名男生分成两组分别32推荐给甲大学和乙大学，有 C A A 12 种推荐方法所以共有 24 种推荐方法，故选 B.23222某公司有五个不同部门，现有 4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为( )A60 B40 C120 D240答案 A解析 由题意得，先将 4 名大学生平均分为两组，共有 3(种)不同的分法，再将C24C2A2两组安排在其中的两个部门，共有 3A 60(种)不同的安排方法故选 A.2510
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