2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第4讲随机事件的概率讲义理（含解析）.doc

1、1第 4 讲 随机事件的概率考纲解读 1.了解随机事件概率的意义，理解频率与概率的区别(重点)2.掌握互斥事件的概率加法公式(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲内容一般不作独立考查，预测 2020 年将会考查：对立、互斥与古典概型结合，基本概率的计算；随机事件与频率分布直方图相结合. 以客观题的形式呈现，试题难度不大，属中、低档题型.1事件的分类2频率和概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次实验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A出现的 次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A) 为事件 A 出现的01 02 nAn频率(2)对于给定的随

2、机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的 频率 fn(A)稳03 定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率3事件的关系与运算24概率的几个基本性质(1)概率的取值范围： 0P(A)1.01 (2)必然事件的概率 P(E) 1.02 (3)不可能事件的概率 P(F) 0.03 (4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB) P(A)P(B)04 (5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A) 1P(B)05 31概念辨析(1)若事件 A，B，C 两两互斥，则 P(A)P(B)P(C)1.( )(2)

3、在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( )(3)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥( )(4)事件 A 的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含结果组成集合A 的补集( )(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)2小题热身(1)下列事件中不可能事件的个数为( )如果 ab，cd，则 adbc；对某中学的毕业生进行一次体检，每个学生的身高都超过 2 m；某电视剧收视率为 40%；从 10 个玻璃杯(其中 8 个正品，2 个次品)中，任取 2 个，2 个都是次品；在不受外力作用的条件下，做匀速

4、直线运动的物体改变其匀速直线运动状态A1 B2 C3 D4答案 B解析 是必然事件；是不可能事件；是随机事件故选 B.(2)某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )A是互斥事件，不是对立事件B是对立事件，不是互斥事件C既是互斥事件，也是对立事件D既不是互斥事件也不是对立事件答案 C解析 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名有以下可能：全是男生；恰有 1 名女生；全是女生，所以“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件(3)给出下列三个命题，其中正确的命题有_个有一大批产品，已知次品率为 10%，

5、从中任取 100 件，必有 10 件是次品；做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是 ；37随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率答案 0解析 由概率的概念知，从中任取 100 件，可能有 10 件次品，并不是必有 10 件次品，则是假命题；抛硬币时出现正面的概率是 ，不是 ，则是假命题；频率和概率不是同12 374一个概念，则是假命题综上可知，正确的命题有 0 个(4)从一箱产品中随机抽取一件，设事件 A抽到一等品，事件 B抽到二等品，事件 C抽到三等品，且已知 P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为_答案 0.3

6、5解析 “抽到的不是一等品”与“抽到一等品”是对立事件，所以抽到的不是一等品的概率 P1P(A)10.650.35.题型 随机事件的关系一1有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A互斥但非对立事件 B对立事件C相互独立事件 D以上都不对答案 A解析 “甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立2在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 ，那么概率为 的事件是( )310 710A至多有一张移动卡

7、B恰有一张移动卡C都不是移动卡 D至少有一张移动卡答案 A解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡” “两张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”的概率为 .710判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件 A 的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的A 集合的补集 5某小组有 3 名男生和 2

8、 名女生，从中选 2 名同学去参加演讲比赛，下列有 4 个事件：恰有 1 名男生和恰有 2 名男生；至少有 1 名男生和至少有 1 名女生；至少有 1 名男生和全是男生；至少有 1 名男生和全是女生，其中是互斥事件的是_(填序号)答案 解析 对于事件，恰有 1 名男生是 1 男 1 女与恰有 2 名男生互斥；对于事件，至少 1 名男生与至少 1 名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于，至少 1 名男生与全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于事件，至少 1 名男生和全是女生不可能同时发生，是互斥事件题型 随机事件的频率与概率二1对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：(1)求次品出

9、现的频率(次品率)；(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件 A，求 P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售 1000 件衬衣，至少需进货多少件？解 (1)次品率依次为 0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.(2)由(1)知，出现次品的频率 在 0.05 附近摆动，故 P(A)0.05.mn(3)设购进衬衣 x 件，则 x(10.05)1000，解得 x1053，故至少需进货 1053 件2(2018全国卷)某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位： m3)和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：6(1)作出使用

10、了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解 (1)7(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35 m3的频率为0.20.110.12.60.120.050.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为 0.48.(3)该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为1 (0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6

11、55)x1500.48.该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为2 (0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.x150估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.480.35)36547.45( m3)1计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数(2)由频率与概率的关系得所求2求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求.(2019福建基地综合测试)某商店计划每天购进某商品若干

12、件，商店每销售 1 件该商品可获利 50 元若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损 10 元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利 30 元(1)若商店一天购进该商品 10 件，求日利润 y(单位：元)关于日需求量 n(单位：件，8nN)的函数解析式；(2)商店记录了 50 天该商品的日需求量 n(单位：件)，整理得下表：日需求量 n 8 9 10 11 12频数 9 11 15 10 5假设该店在这 50 天内每天购进 10 件该商品，求这 50 天的日利润(单位：元)的平均数；若该店一天购进 10 件该商品，以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润

13、在区间400,550内的概率解 (1)当日需求量 n10 时，日利润为 y5010( n10)3030 n200，当日需求量 n10 时，利润 y50 n(10 n)1060 n100.所以日利润 y 与日需求量 n 的函数解析式为yError!(2)50 天内有 9 天获得的日利润为 380 元，有 11 天获得的日利润为 440 元，有 15 天获得日利润为 500 元，有 10 天获得的日利润为 530 元，有 5 天获得的日利润为 560 元所以这 50 天的日利润(单位：元)的平均数为477.2.3809 44011 50015 53010 560550日利润(单位：元)在区间400

14、,550内的概率为P .11 15 1050 1825题型 互斥事件与对立事件的概率三角度 1 互斥事件概率公式的应用1(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为( )A0.3 B0.4 C0.6 D0.7答案 B解析 设事件 A 为只用现金支付，事件 B 为只用非现金支付，事件 C 为既用现金支付也用非现金支付，则 P(A) P(B) P(C)1，因为 P(A)0.45， P(C)0.15，所以 P(B)0.4.故选 B.角度 2 对立事件概率公式的应用2某班选派 5 人参加学校举行的数学竞赛，获奖的

15、人数及其概率如下：9获奖人数/人 0 1 2 3 4 5概率 0.1 0.16 x y 0.2 z(1)若获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56，求 x 的值；(2)若获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，最少 3 人的概率为 0.44，求 y， z 的值解 记事件“在竞赛中，有 k 人获奖”为 Ak(kN， k5)，则事件 Ak彼此互斥(1)获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56， P(A0) P(A1) P(A2)0.10.16 x0.56.解得 x0.3.(2)由获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，得P(A5)10.960.04，即 z0.04.由获奖人数最少 3 人的概率为

16、0.44，得 P(A3) P(A4) P(A5)0.44，即 y0.20.040.44，解得 y0.2.求复杂的互斥事件概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)101某城市 2018 年的空气质量状况如表所示：其中污染指数 T50 时，空气质量为优；50 T100 时，空气质量为良；100 T150时，空气质量为轻微污染，则该城市 2018 年空气质量达到良或优的概率为_答案 35解析 由题意可知 2018 年空气质量达到良或优的概率为 .110 16 13 352(2018扬州模拟)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数

17、据，如下表所示已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)解 (1)由已知得 25 y1055， x3045，所以 x15， y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)115 1.530 225 2.520 310100(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ， A1， A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟” ， “该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟” ，将频率视为概率得 P(A1) ， P(A2) .20100 15 10100 110P(A)1 P(A1) P(A2)1 .15 110 71011故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .710