1、1第 8 讲 n 次独立重复试验与二项分布考纲解读 1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念(重点)2.能够利用 n 次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点. 预测 2020 年将会考查：条件概率的计算；事件独立性的应用；独立重复试验与二项分布的应用. 题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型.1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A) (P(A)0)在古典概01 02 03 P ABP A型中，
2、若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A) (n(AB)表示 AB 共同发n ABn A生的基本事件的个数)(2)条件概率具有的性质 0 P(B|A)1；04 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B C)|A) P(B|A) P(C|A)05 2相互独立事件(1)对于事件 A， B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A， B 是相互独立事件01 (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A) P(B)，02 P(AB) P(B|A)P(A) P(A)P(B)03 (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立04 B 05 A
3、06 A B(4)若 P(AB) P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立07 3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在 相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验 Ai(i1,2， n)表示第01 i 次试验结果，则 P(A1A2A3An) P(A1)P(A2)P(An)02 (2)二项分布在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是 p，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X B(n， p)，并称 p 为 成功概率在03 04 2n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X k) C pk(1 p)
4、05 knn k(k0,1,2， n)1概念辨析(1)相互独立事件就是互斥事件( )(2)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率； P(BA)表示事件 A， B 同时发生的概率，一定有 P(AB) P(A)P(B)( )(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于( a b)n二项展开式的通项公式，其中a p， b(1 p)( )(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(X k)C pk(1 p)knn k， k0,1,2， n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分布( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)
5、已知 P(B|A) ， P(A) ，则 P(AB)等于( )13 25A. B. 56 910C. D.215 115答案 C解析 P(B|A) ， P(A) 且 P(B|A) ， P(AB) P(A)P(B|A) P ABP A 25 13 25 13.215(2)设随机变量 B ，则 P( 3)的值是( )(5，13)A. B. 10243 32243C. D.40243 80243答案 C解析 因为 B ，所以 P( 3)C 3 2 .(5，13) 35(13) (23) 40243(3)两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为 和 ，两个零件能否被23 34加工成一等品相互
6、独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( )A. B. 12 512C. D.14 163答案 B解析 两个零件恰好有一个一等品的概率为 .23 (1 34) (1 23) 34 512(4)小王通过英语听力测试的概率是 ，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过13的概率是_答案 49解析 所求概率 PC 1 2 .13 (13) (1 13) 49题型 条件概率一1从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A：“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件B：“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)( )A. B. 18 14C. D.25 12答案 B解析 解法一
7、：事件 A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共 4 个事件 AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即 n(AB)1.故由古典概型概率 P(B|A) .故选 B.n ABn A 14解法二： P(A) ， P(AB) .由条件概率计算公式，得 P(B|A)C23 C2C25 410 C2C25 110 .故选 B.P ABP A110410 142如图， EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ， B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ，则 P(B|A)_.
8、4答案 14解析 由题意可得，事件 A 发生的概率 P(A) .事件 ABS正 方 形 EFGHS圆 O 22 12 2表示“豆子落在 EOH 内” ，则 P(AB) ，S EOHS圆 O 1212 12 12故 P(B|A) .P ABP A122 14条件探究 1 若将举例说明 1 中的事件 B 改为“取到的 2 个数均为奇数” ，则结果如何？解 P(A) ， P(B) .C23 C2C25 25 C23C25 310又 BA，则 P(AB) P(B) ，310所以 P(B|A) .P ABP A P BP A 34条件探究 2 将举例说明 1 条件改为：从 1,2,3,4,5 中不放回地
9、依次取 2 个数，事件A 为“第一次取到的是奇数” ，事件 B 为“第二次取到的是奇数” ，求 P(B|A)的值解 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数，有 A 种方法；其中第一次取到的是奇数，25有 A A 种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有 A A 种方法1314 1312则 P(A) ， P(AB) ，A13A14A25 35 A13A12A25 310所以 P(B|A) .P ABP A31035 12解决条件概率问题的步骤第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知” “在前提下”等字眼，一般为条件概率题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求
10、事件的概率时，也需注意是否为条件概率若为条件概率，则进行第二步5第二步，计算概率，这里有两种思路：提醒：要注意 P(B|A)与 P(A|B)的不同：前者是在 A 发生的条件下 B 发生的概率，后者是在 B 发生的条件下 A 发生的概率 1(2019大连模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A0.8 B0.75 C0.6 D0.45答案 A解析 设某天的空气质量为优良是事件 B，随后一天的空气质量为优良是事件 A，所以题目所求为 P(A|B) 0.8.P ABP B
11、 0.60.752一个正方形被平均分成 9 个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方形区域的事件记为 B，则 P(A|B)_.答案 14解析 如图， n( )9， n(A)3， n(B)4， n(AB)1， P(AB) ，196P(A|B) .n ABn B 14题型 相互独立事件的概率二某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个34家庭都回答错误的概率是 ，乙、丙两个家庭都回
12、答正确的概率是 .若各家庭回答是否正112 14确互不影响(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率解 (1)记“甲回答正确这道题” “乙回答正确这道题” “丙回答正确这道题”分别为事件 A， B， C，则 P(A) ，34且有Error!即Error!所以 P(B) ， P(C) .38 23(2)有 0 个家庭回答正确的概率为P0 P( ) P( )P( )P( ) ，A B C A B C 14 58 13 596有 1 个家庭回答正确的概率为P1 P(A B C) ，B C AC A B 34 58 13 14 3
13、8 13 14 58 23 724所以不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率为P1 P0 P11 .596 724 2132求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果此外，也可以从对立事件入手计算概率.在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 到 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选7出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选
14、2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中选 3 名歌手(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“ X2”的事件概率解 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手” ， B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手” ，则 P(A) ， P(B) .C12C23 23 C24C35 35事件 A 与 B 相互独立， A 与 相互独立，则 A 表示事件“甲选中 3 号歌手，且乙没B B选中 3 号歌手” P(A ) P(A)P( ) P(A)1 P(B) .B B23 25 415即观众甲选
15、中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率是 .415(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手” ，则 P(C) ，C24C35 35依题意， A， B， C 相互独立， 相互独立，AB C且 AB ， A C， BC， ABC 彼此互斥C B A又 P(X2) P(AB ) P(A C) P( BC)C B A ，23 35 25 23 25 35 13 35 35 3375P(X3) P(ABC) ，23 35 35 1875 P(X2) P(X2) P(X3) ，3375 1875 1725故“ X2”的事件的概率为 .1725题型 独立重复试验与二项分布三(2018贵州铜仁模
16、拟)医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标 H 和 V.现有 A， B， C 三种不同配方的药剂，根据分析， A， B， C 三种药剂能控制 H 指标的概率分别为 0.5,0.6,0.75，能控制 V 指标的概率分别为 0.6,0.5,0.4，能否控制 H 指标与能否控制 V 指标之间相互没有影响(1)求 A， B， C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率；(2)某种药剂能使两项指标 H 和 V 都得到控制就说该药剂有治疗效果求三种药剂中有治疗效果的药剂种数 X 的分布列解 (1) A， B， C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率为P P(A ) P
17、( B ) P( C)B C AC A B 80.5(10.6)(10.75)(10.5)0.6(10.75)(10.5)(10.6)0.750.275.(2) A 有治疗效果的概率为 PA0.50.60.3，B 有治疗效果的概率为 PB0.60.50.3，C 有治疗效果的概率为 PC0.750.40.3， A， B， C 三种药剂有治疗效果的概率均为 0.3，可看成 3 次独立重复试验，即 X B(3,0.3) X 的可能取值为 0,1,2,3， P(X k)C 0.3k(10.3) 3 k，k3即 P(X0) C 0.30(10.3) 30.343，03P(X1)C 0.3(10.3) 2
18、0.441，13P(X2)C 0.32(10.3)0.189，23P(X3)C 0.330.027.3故 X 的分布列为X 0 1 2 3P 0.343 0.441 0.189 0.0271独立重复试验的实质及应用独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程2判断某概率模型是否服从二项分布 Pn(X k)C pk(1 p)n k的三个条件kn(1)在一次试验中某事件 A 发生的概率是一个常数 p.(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率提醒：在实际应
19、用中，往往出现数量“较大” “很大” “非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立12(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？9解 (1) X 可能的取值为 10,20,100，200.根据题意，有P(X10
20、)C 1 2 ，13 (12) (1 12) 38P(X20)C 2 1 ，23 (12) (1 12) 38P(X100)C 3 0 ，3 (12) (1 12) 18P(X200)C 0 3 .03 (12) (1 12) 18所以 X 的分布列为X 10 20 100 200P 38 38 18 18(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3)，则 P(A1) P(A2) P(A3) P(X200) .18所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1 P(A1A2A3)1 31 .(18) 1512 511512因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是 .511512
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