1、18.6 空间向量及其运算最新考纲 考情考向分析1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示.3.了解空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算.4.了解空间两点间的距离公式、向量的长度公式及两向量的夹角公式.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1.空间向量的有关概念名称 概念 表示零向量 模为 0
2、的向量 0单位向量 长度(模)为 1 的向量相等向量 方向相同且模相等的向量 a b相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为 a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a b共面向量 平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数 ，使得 a b.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式： p xa yb，其中 x， yR， a， b 为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量 a， b， c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组 x， y， z，使得2p xa yb z
3、c， a， b， c叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a， b，在空间任取一点 O，作 a， b，则 AOB 叫做向量 a， b 的OA OB 夹角，记作 a， b ，其范围是 0 a， b，若 a， b ，则称 a 与 b 互相垂直， 2记作 a b.两向量的数量积已知空间两个非零向量 a， b，则| a|b|cos a， b叫做向量 a， b 的数量积，记作 ab，即 ab| a|b|cos a， b.(2)空间向量数量积的运算律( a)b (ab)；交换律： ab ba；分配律： a(b c) ab ac.4.空间向量的坐
4、标表示及其应用设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3).向量表示 坐标表示数量积 ab a1b1 a2b2 a3b3共线 a b(b0， R) a1 b 1， a2 b 2， a3 b 3垂直ab0(a0， b0)a1b1 a2b2 a3b30模 |a| a21 a2 a23夹角 a， b(a0， b0)cos a， ba1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23b21 b2 b23概念方法微思考1.共线向量与共面向量相同吗？提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.2.零向量能作为基向量吗？提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面
5、，故零向量不能作为基向量.3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？3提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、 “点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量 a， b 共面.( )(2)在向量的数量积运算中( ab)c a(bc).( )(3)对于非零向量 b，由 ab bc，则 a c.( )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( )(5)若 A， B， C， D 是空间任意四点，则有 0.( )AB BC CD DA (6)若
6、 ab0，则 a， b是钝角.( )题组二 教材改编2.P97A 组 T2如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点.若 a， b， c，则下列向量中与 相等的向量是( )AB AD AA1 BM A. a b c B. a b c12 12 12 12C. a b c D. a b c12 12 12 12答案 A解析 ( )BM BB1 B1M AA1 12AD AB c (b a) a b c.12 12 123.P98T3正四面体 ABCD 的棱长为 2， E， F 分别为 BC， AD 的中点，则 EF 的长为_.答案 2解析 | |2
7、2( )2EF EF EC CD DF 2 2 22( )EC CD DF EC CD EC DF CD DF 1 22 21 22(12cos120021cos120)2，| | ， EF 的长为 .EF 2 24题组三 易错自纠4.在空间直角坐标系中，已知 A(1，2，3)， B(2，1，6)， C(3，2，1)， D(4，3，0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是( )A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直答案 B解析 由题意得， (3，3，3)， (1，1，1)，AB CD 3 ， 与 共线，又 AB 与 CD 没有公共点， AB CD.AB CD AB CD 5.已知 a(
8、2，3，1)， b(4，2， x)，且 a b，则| b|_.答案 2 6解析 a b， ab2(4)321 x0， x2，| b| 2 . 42 22 22 66.O 为空间中任意一点， A， B， C 三点不共线，且 t ，若 P， A， B， C 四点OP 34OA 18OB OC 共面，则实数 t_.答案 18解析 P， A， B， C 四点共面， t1， t .34 18 18题型一 空间向量的线性运算例 1 如图所示，在空间几何体 ABCD A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设 a， b，AA1 AB c， M， N， P 分别是 AA1， BC， C1D1的中点，试用 a，
9、b， c 表示以下各向量：AD (1) ；AP (2) .MP NC1 5解 (1)因为 P 是 C1D1的中点，所以 AP AA1 A1D1 D1P a AD 12D1C1 a c a c b.12AB 12(2)因为 M 是 AA1的中点，所以 MP MA AP 12A1A AP a a b c.12 (a c 12b) 12 12又 c a，NC1 NC CC1 12BC AA1 12AD AA1 12所以 MP NC1 (12a 12b c) (a 12c) a b c.32 12 32思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转
10、化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.跟踪训练 1 (1)如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， O 为 AC 的中点.用 ， ， 表示AB AD AA1 ，则 _.OC1 OC1 答案 12AB 12AD AA1 解析 ( )，OC 12AC 12AB AD ( ) .OC1 OC CC1 12AB AD AA1 12AB 12AD AA1 (2)(2018金华质检)如图，在三棱锥 OABC 中， M， N 分别是 AB， OC 的中点，设 a，OA 6 b， c，用 a， b， c 表示 ，则 等于( )OB OC NM
11、NM A. ( a b c) B. (a b c)12 12C. (a b c) D. ( a b c)12 12答案 B解析 ( )NM NA AM OA ON 12AB ( ) OA 12OC 12OB OA 12OA 12OB 12OC (a b c).12题型二 共线定理、共面定理的应用例 2 如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是平行四边形， E， F， G 分别是A1D1， D1D， D1C1的中点.(1)试用向量 ， ， 表示 ；AB AD AA1 AG (2)用向量方法证明平面 EFG平面 AB1C.(1)解 设 a， b， c.AB AD AA1 由图
12、得 c b a b cAG AA1 A1D1 D1G 12DC 12 .12AB AD AA1 (2)证明 由题图，得 a b，AC AB BC b a ，EG ED1 D1G 12 12 12AC EG 与 AC 无公共点，7 EG AC， EG平面 AB1C， AC平面 AB1C， EG平面 AB1C.又 a c，AB1 AB BB1 c a ，FG FD1 D1G 12 12 12AB1 FG 与 AB1无公共点， FG AB1， FG平面 AB1C， AB1平面 AB1C， FG平面 AB1C，又 FG EG G， FG， EG平面 EFG，平面 EFG平面 AB1C.思维升华证明三点
13、共线和空间四点共面的方法比较三点( P， A， B)共线 空间四点( M， P， A， B)共面 且同过点 PPA PB x yMP MA MB 对空间任一点 O， tOP OA AB 对空间任一点 O， x yOP OM MA MB 对空间任一点 O， x (1 x)OP OA OB 对空间任一点 O， x y (1 x y)OP OM OA OB 跟踪训练 2 如图所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，点 M， N 分别在 AC1和 BC 上，且满足 k ， k (0 k1).AM AC1 BN BC (1)向量 是否与向量 ， 共面？MN AB AA1 (2)直线 MN 是否与平面 A
14、BB1A1平行？解 (1) k ， k ，AM AC1 BN BC MN MA AB BN k kC1A AB BC 8 k( )C1A BC AB k( )C1A B1C1 AB k kB1A AB AB AB1 k( )AB AA1 AB (1 k) k ，AB AA1 由共面向量定理知向量 与向量 ， 共面.MN AB AA1 (2)当 k0 时，点 M， A 重合，点 N， B 重合，MN 在平面 ABB1A1内，当 0k1 时， MN 不在平面 ABB1A1内，又由(1)知 与 ， 共面，MN AB AA1 MN平面 ABB1A1.综上，当 k0 时， MN 在平面 ABB1A1内；
15、当 0k1 时， MN平面 ABB1A1.题型三 空间向量数量积的应用例 3 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M， N 分别是AB， CD 的中点.(1)求证： MN AB， MN CD；(2)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值.(1)证明 设 p， q， r.AB AC AD 由题意可知，| p| q| r| a，且 p， q， r 三个向量两两夹角均为 60. ( ) (q r p)，MN AN AM 12AC AD 12AB 12 (q r p)p (qp rp p2)MN AB 12 12 (a2cos60 a2cos60 a2)0.12
16、，即 MN AB.MN AB 9同理可证 MN CD.(2)设向量 与 的夹角为 .AN MC ( ) (q r)，AN 12AC AD 12 q p，MC AC AM 12 (q r)AN MC 12 (q 12p)12(q2 12qp rq 12rp)12(a2 12a2cos60 a2cos60 12a2cos60) .12(a2 a24 a22 a24) a22又| | | a，AN MC 32 | | |cos a acos .AN MC AN MC 32 32 a22cos .23向量 与 的夹角的余弦值为 ，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为 .AN MC 23 23
17、思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角.(3)可以通过| a| ，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.a2跟踪训练 3 如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为 60.(1)求 的长；AC1 (2)求 与 夹角的余弦值.BD1 AC 解 (1)记 a， b， c，AB AD AA1 则| a| b| c|1， a， b b， c c， a60，10 ab bc ca .12| |2( a b c)2
18、a2 b2 c22( ab bc ca)AC1 1112 6，(12 12 12)| | ，即 AC1的长为 .AC1 6 6(2) b c a， a b，BD1 AC | | ，| | ，BD1 2 AC 3 ( b c a)(a b)BD1 AC b2 a2 ac bc1，cos ， .BD1 AC BD1 AC |BD1 |AC | 66即 与 夹角的余弦值为 .BD1 AC 661.已知 a(2，3，4)， b(4，3，2)， b x2 a，则 x 等于( )12A.(0，3，6) B.(0，6，20)C.(0，6，6) D.(6，6，6)答案 B解析 由 b x2 a，得 x4 a2
19、 b(8，12，16)(8，6，4)(0，6，20).122.在下列命题中：若向量 a， b 共线，则向量 a， b 所在的直线平行；若向量 a， b 所在的直线为异面直线，则向量 a， b 一定不共面；若三个向量 a， b， c 两两共面，则向量 a， b， c 共面；已知空间的三个向量 a， b， c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x， y， z 使得p xa yb zc.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.311答案 A解析 a 与 b 共线， a， b 所在的直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量 a， b 都共面，故不正确；三个向量 a
20、， b， c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当 a， b， c 不共面时，空间任意一向量 p 才能表示为p xa yb zc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为 0，故选 A.3.(2018台州模拟)已知向量 a(2 m1，3， m1)， b(2， m， m)，且 a b，则实数 m的值等于( )A. B.232C.0 D. 或232答案 B解析 当 m0 时， a(1，3，1)， b(2，0，0)，a 与 b 不平行， m0， a b， ，解得 m2.2m 12 3m m 1 m4.在空间直角坐标系中，已知 A(1，2，1)， B(2，2，2)，点 P 在
21、z 轴上，且满足|PA| PB|，则 P 点坐标为( )A.(3，0，0) B.(0，3，0)C.(0，0，3) D.(0，0，3)答案 C解析 设 P(0，0， z)，则有 ，解得 z3.1 02 2 02 1 z2 2 02 2 02 2 z25.已知 a(1，0，1)， b( x， 1，2)，且 ab3，则向量 a 与 b 的夹角为( )A. B. C. D.56 23 3 6答案 D解析 ab x23， x1， b(1，1，2)，cos a， b ，ab|a|b| 326 32又 a， b0， a 与 b 的夹角为 ，故选 D. 66.如图，在大小为 45的二面角 A EF D 中，四
22、边形 ABFE， CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B， D 两点间的距离是( )12A. B. C.1D.3 2 3 2答案 D解析 ，BD BF FE ED | |2| |2| |2| |22 2 2 111 3 ，BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED 2 2故| | .BD 3 27.(2019舟山模拟)已知 a(2，1，3)， b(1，2，3)， c(7，6， )，若 a， b， c三向量共面，则 _.答案 9解析 由题意知 c xa yb，即(7，6， ) x(2，1，3) y(1，2，3)，Error! 解得 9.8.已知 a( x， 4，1)， b(2
23、， y，1)， c(3，2， z)， a b， b c，则 c_.答案 (3，2，2)解析 因为 a b，所以 ，解得 x2， y4，x 2 4y 1 1此时 a(2，4，1)， b(2，4，1)，又因为 b c，所以 bc0，即68 z0，解得 z2，于是 c(3，2，2).9.已知 V 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 VA VB VC VD， ， ， .VP 13VC VM 23VB VN 23VD 则 VA 与平面 PMN 的位置关系是_.答案 平行解析 如图，设 a， b，VA VB c，则 a c b，VC VD 由题意知 b c，PM 23 1313 PN 23VD 13VC
24、 a b c.23 23 13 ，VA 32PM 32PN ， ， 共面.VA PM PN 又 VA平面 PMN， VA平面 PMN.10.已知 ABCD A1B1C1D1为正方体，( )23 2；A1A A1D1 A1B1 A1B1 ( )0；A1C A1B1 A1A 向量 与向量 的夹角是 60；AD1 A1B 正方体 ABCD A1B1C1D1的体积为| |.AB AA1 AD 其中正确的序号是_.答案 解析 中，( )2 2 2 23 2，A1A A1D1 A1B1 A1A A1D1 A1B1 A1B1 故正确；中， ，因为 AB1 A1C，故正确；中，两异面直线 A1BA1B1 A1
25、A AB1 与 AD1所成的角为 60，但 与 的夹角为 120，故不正确；中，AD1 A1B | |0，故也不正确.AB AA1 AD 11.已知 A， B， C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足 ( ).OM 13OA OB OC (1)判断 ， ， 三个向量是否共面；MA MB MC (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.解 (1)由题意知 3 ，OA OB OC OM ( )( )，OA OM OM OB OM OC 即 ，MA BM CM MB MC ， ， 共面.MA MB MC (2)由(1)知 ， ， 共面且过同一点 M，MA MB MC 14 M
26、， A， B， C 四点共面.点 M 在平面 ABC 内.12.已知 a(1，3，2)， b(2，1，1)， A(3，1，4)， B(2，2，2).(1)求|2 a b|；(2)在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得 b？( O 为原点)OE 解 (1)2 a b(2，6，4)(2，1，1)(0，5，5)，故|2 a b| 5 .02 52 52 2(2)令 t (tR)，AE AB 所以 tOE OA AE OA AB (3，1，4) t(1，1，2)(3 t，1 t， 42 t)，若 b，则 b0，OE OE 所以2(3 t)(1 t)(42 t)0，解得 t .95因此存在点 E，使得
27、 b，此时 E 点的坐标为 .OE ( 65， 145， 25)13.如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC， M， N 分别为 OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 2 ，若 x y z ，则 x y z_.MG GN OG OA OB OC 答案 56解析 连接 ON，设 a， b， c，OA OB OC 15则 ( ) b c a，MN ON OM 12OB OC 12OA 12 12 12 OG OM MG 12OA 23MN a a b c.12 23(12b 12c 12a) 16 13 13又 x y z ，OG OA OB OC 所以 x ， y
28、 ， z ，16 13 13因此 x y z .16 13 13 5614.已知 O(0，0，0)， A(1，2，1)， B(2，1，2)， P(1，1，2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当 取最小值时，点 Q 的坐标是_.QA QB 答案 (1，1，2)解析 由题意，设 ，则 ( ， ，2 )，即 Q( ， ，2 )，则OQ OP OQ (1 ，2 ，12 )， (2 ，1 ，22 )， (1 )(2 )QA QB QA QB (2 )(1 )(12 )(22 )6 212 66( 1) 2，当 1 时取最小值，此时 Q 点坐标为(1，1，2).15.(2018温州高考适应性考试)正方体
29、ABCDA1B1C1D1的棱长为 ，正方体所在空间的动2点 P 满足| |2，则 的取值范围是( )PB1 PC AP AD1 A.0，4 B.1，4C.0，2 D.1，2 2 2答案 A解析 因为正方体的棱长为 ，所以| B1C|2，则由| |2 得点 P 在以 B1C 的中点为2 PB1 PC 球心， 为半径的球面上.当点 P 与点 B 重合时，点 P 在直线 AD1上的射影为点 A，此B1C2时 取最小值 0，当点 P 与点 C1重合时，点 P 在直线 AD1上的射影为 D1，此AP AD1 时 取最大值| |2，则 0，| |20，4，故选 A.AP AD1 AD1 AP AD1 AD
30、1 16.已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为侧面 BB1C1C 的中心， F 在棱 AD 上运动，正方体表面上有一点 P 满足 x y (x0， y0)，求所有满足条件的 P 点构成图D1P D1F D1E 形的面积.16解 由 x y (x0， y0)得点 P 在以射线 D1F， D1E 为角的两边的平面内，又因D1P D1F D1E 为点 P 在正方体的表面上，所以点 P 所在的图形为点 F 由点 A 运动到点 D 的过程中，以射线D1F， D1E 为角的两边的平面与正方体的侧面的交线构成的区域.设棱 BC 的中点为 N，则由图易得点 P 构成的图形为 D1DA、直角梯形 ABND 和 ENB 及他们的内部，则所求面积为11 1 .12 1 122 12 12 12 118
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