2018_2019学年九年级数学上册第二十四章圆小专题13证明切线的两种常用方法习题（新版）新人教版.doc

1、1小专题 13 证明切线的两种常用方法类型 1 直线与圆有交点直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线” “证垂直”时通常利用圆中的关系得到 90的角，如直径所对的圆周角等于 90等【例 1】 (山西中考改编)如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，点 P 是直径 AB 上的一点(不与 A，B 重合)，过点 P 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 Q.在线段 PQ 上取一点 D，使DQDC，连接 DC，试判断 CD 与O 的位置关系，并说明理由解：CD 是O 的切线理由：连接 OC，OCOB，BOCB.又DCDQ，QDCQ.PQAB，QPB90.BQ90.O

2、CBDCQ90.DCO180(OCBDCQ)90.OCDC.2OC 是O 的半径，CD 是O 的切线1(山西中考改编)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的O 经过点 D，E 是O 上一点，且AED45.试判断 CD 与O 的位置关系，并说明理由解：CD 与O 相切理由：连接 OD，则AOD2AED24590，四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC.CDOAOD90.ODCD.OD 是O 的半径，CD 与O 相切2(常德中考)如图，已知O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，且 BDBC，延长 AD到点 E，且有EBDCAB.求证：BE 是O 的切线证明：连接 OB，B

3、DBC，CABBAD.EBDCAB，BADEBD.OABO，BADABO.EBDABO.AD 是O 的直径，3ABD90.OBEEBDOBDABOOBDABD90.点 B 在O 上，且 OB 为O 的半径，BE 是O 的切线3如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于 E，D 为 AC 延长线上一点，且DBC CAB，求证：BD 是O 的切线12证明：连接 AE，AB 为O 的直径，AEB90.又ABAC，AE 平分CAB.BAE BAC，12DBC CAB，12DBCBAE.BAEABE90，DBCABE90，即ABD90.BDOB.又 OB 为O 的半径，BD 是O 的

4、切线4(永州中考改编)如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 为直径，过点 B 的切线与 AC 的延长线交于点 D，E 是 BD 中点，连接 CE.求证：CE 是O 的切线证明：连接 CO，OE，4AB 为O 的直径，ACB90.BCD90.E 是 BD 中点，CEBE BD.12又OCOB，OEOE，COEBOE.OCEOBE.BD 为O 的切线，OBE90.OCE90.CE 是O 的切线5(丽水中考)如图，AB 是以 BC 为直径的半圆 O 的切线，D 为半圆上一点，ADAB，AD，BC 的延长线相交于点 E.(1)求证：AD 是半圆 O 的切线；(2)连接 CD，求证：A2CDE.证明：

5、(1)连接 OD，BD，AB 是O 的切线，ABBC，即ABO90.ABAD，ABDADB.OBOD，DBOBDO.ABDDBOADBBDO.ADOABO90.又 OD 为O 的半径，AD 是半圆 O 的切线(2)由(1)知，ADOABO90，A360ADOABOBOD180BODDOC.AD 是半圆 O 的切线，ODE90.5ODCCDE90.BC 是O 的直径，ODCBDO90.BDOCDE.BDOOBD，DOC2BDO.DOC2CDE.A2CDE.类型 2 不确定直线与圆是否有交点直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线” 证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等

6、或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等【例 2】 (贵港中考改编)如图，在ABC 中，ABAC，O 为 BC 的中点，AC 与半圆 O 相切于点 D.(1)求证：AB 是半圆 O 所在圆的切线；(2)若ABC60，AB12，求半圆 O 所在圆的半径解：(1)证明：连接 OD，OA，作 OEAB 于点 E，ABAC，O 为 BC 的中点，CAOBAO.ODAC 于点 D，OEAB 于点 E，ODOE.AB 经过圆 O 半径的外端，AB 是半圆 O 所在圆的切线(2)ABAC，ABC60，ABC 是等边三角形BCAB12.点 O 为 BC 的中点，BO6.由(1)可知BOE30.6在 RtOB

7、E 中，BE BO3，12OE 3 .OB2 BE2 3半圆 O 所在圆的半径为 3 .36如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半径的O 与 BC 相切于点 M，与 AB，AD 分别相交于点 E，F.求证：CD 与O 相切证明：连接 OM，过点 O 作 ONCD 于点 N，O 与 BC 相切于点 M，OMBC.正方形 ABCD 中，AC 平分BCD，又ONCD，OMBC，OMON.又 ON 为O 的半径，CD 与O 相切7如图，在 RtABC 中，B90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 为 AB 上的一点，DEDC，以 D 为圆心，DB 长为半径作D，AB5，EB3.(1)求证：AC 是D 的切线；(2)求线段 AC 的长解：(1)证明：过点 D 作 DFAC 于点 F.ABC90，ABBC.AD 平分BAC，DFAC，BDDF.7点 F 在D 上AC 是D 的切线(2)在 RtBDE 和 RtFDC 中，BDFD，DEDC，RtBDERtFDC(HL)EBCF.在 RtABD 和 RtAFD 中，BDFD，ADAD，RtABDRtAFD(HL)ABAF.ABEBAFCF，即 ABEBAC.AC538.