2018_2019学年九年级数学下册第27章圆本章总结提升同步练习（新版）华东师大版.doc

1、1圆本章总结提升问题 1 与圆有关的概念直径与弦有什么关系？弦与弧有什么区别？优弧与劣弧如何表示？长度相等的弧是等弧吗？例 1 有下列说法：圆中最长的弦不一定是直径；同一个圆中，优弧大于半圆周，劣弧小于半圆周；等弧的长度一定相等；经过圆内一个定点可以作无数条弦；经过圆内一个定点可以作无数条直径其中正确的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个问题 2 垂径定理及其推论你能说出垂径定理及其推论的内容吗？垂径定理常与哪些定理相结合解决问题？例 2 如图 27T1， CD 为 O 的直径，弦 AB 交 CD 于点 E，连结 BD， OB， AC.2(1)求证： AEC DEB；(2)若 CD A

2、B， AB8， DE2，求 O 的半径图 27T1【归纳总结】应用垂径定理时应注意：定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决问题 2 圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，两个相等的圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？例 3 已知：如图 27T2， AB 是 O 的直径， BC 是弦， OD BC 于点 E，交 于点 D，连结BC AC， OC， CD， BD.(1)请写出六个不同类型的正确结论； (2

3、)若 BC4， DE1，求 O 的半径图 27T2【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想问题 4 圆周角定理及其推论圆周角的两个要素是什么？圆周角定理及其推论的内容是什么？这个定理及其推论可以解决哪些类型的问题？例 4 如图 27T3，在 ABC 中， AB AC，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，连结 BE， AD 交于点 P.求证：(1)D 是 BC 的中点；(2) BEC ADC；3(3)ACCE2 PDAD.图 27T3【归纳总结】圆周角定理及其推论的作用：由圆周角定理及

4、其推论的条件和结论可知，应用圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的 2 倍或一半，判定圆的直径或直角三角形，求角或弧的度数等问题 5 圆内接四边形什么是圆内接四边形？它有什么性质？这个性质与圆周角定理有什么关系？例 5 如图 27T4 所示，四边形 ABCD 内接于 O， F 是 上一点，且 ，连结 CF 并延CD DF BC 长交 AD 的延长线于点 E，连结 AC.若 ABC105， BAC25，则 E 的度数为( )图 27T4A45 B50 C55 D60【归纳总结】圆内接四边形的性质是“圆内接四边形的对角互补” ，这个性质是由圆周角定理推导出来

5、的，其主要作用是计算角度，根据这个性质可以推出“圆内接四边形的外角等于它的内对角” 问题 6 直线与圆的位置关系直线与圆有哪些位置关系？如何确定一条直线与一个圆是哪种位置关系？什么是圆的切线？切线的判定定理、切线的性质定理、切线长定理的内容各是什么？例 6 如图 27T5， O 是 ABC 的外接圆， AC 为直径，弦 BD BA， BE DC 交 DC 的延长线于点 E，连结 AD.求证：(1)1 BAD；(2)BE 是 O 的切线图 27T54【归纳总结】已知切线想性质，要证切线想判定；证明切线时，若明确已知直线与圆的公共点，则用切线的判定定理，若未明确已知直线与圆是否有公共点，则考虑圆心

6、到直线的距离d 与半径 r 是否相等；多条切线时，莫忘切线长定理问题 7 求不规则图形的面积什么是不规则图形？如何求与扇形有关的不规则图形的面积？求解过程体现了什么数学思想？例 7 如图 27T6，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， AC8， BD6，以 AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )图 27T6A256 B. 6 C. 6 D. 6252 256 258【归纳总结】计算平面图形的面积是初中几何常见的题型之一，其中计算不规则图形的面积又是难点，在求与圆有关的不规则阴影部分的面积时，通常是运用转化思想将阴影部分的面积转化为圆、扇形、三角形面积的和或差，对

7、图形进行分解、组合，化不规则图形为规则图形再求解问题 8 圆中的计算问题圆锥的侧面展开图是什么形状的？展开图与圆锥各部分的对应关系如何？怎样计算圆锥的侧面积与全面积？例 8 如图 27T7，一扇形纸片的圆心角 AOB 为 120，弦 AB 的长为 2 cm，用它围3成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的底面半径为( )图 27T75A. cm B. cm 23 23C. cm D. cm32 32问题 9 正多边形与圆正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、边心矩、中心角？如何进行正多边形的相关计算？怎样利用正多边形与圆的关系画出正多边形？例 9 (1)已知：如图 27T8，

8、 ABC 是 O 的内接正三角形， P 为 上一动点，求证：BC PA PB PC；(2)如图，四边形 ABCD 是 O 的内接正方形， P 为 上一动点，求证： PA PC PB；BC 2(3)如图，六边形 ABCDEF 是 O 的内接正六边形， P 为 上一动点，请探究 PA， PB， PC 三BC 者之间有何数量关系，并给予证明图 27T8【归纳总结】(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形；(2) 各角相等的圆外切多边形是正多边形. 6教师详解详析【整合提升】例 1 解析 C 只有正确例 2 解析 (1)根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等” ，可以得到这两个三角形有两对角分别相等

9、，然后根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可(2)根据垂径定理，可以证明 E 为 AB 的中点，设O 的半径为 r，则 OEr2，根据勾股定理可得一个关于 r 的方程，解方程即可解：(1)证明：根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等” ，得AD，CABD，AECDEB.(2)CDAB，CD 为O 的直径，BE AB4.12设O 的半径为 r.DE2，OEr2.在 RtOEB 中，由勾股定理，得 OE2BE 2OB 2，即(r2) 24 2r 2，解得 r5，即O 的半径为 5.例 3 解析 (1) 此题是结论开放性问题由于 AB 是O 的直径，所以ACB90(直径所对的圆周角是直角)

10、进一步可得 AC2BC 2AB 2，或AABC90；因为 ODBC 于点 E，交 于点 D，所以 CEBE，CDBD， (垂径定理)，OE 2BE 2OB 2.进一步可得BC CD BD 到：CODBOD，A COBCODBOD(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周12角等于该弧所对的圆心角的一半)；还可以得到 ACOD，BOD 是等腰三角形等(2)在 RtOBE 中，根据垂径定理和勾股定理可以求出半径解：(1) 答案不唯一，如：BECE，BED90，BODA，ACOD，ACBC，OE 2BE 2OB 2，BOD 是等腰三角形等(2)设O 的半径为 r，则 OBr, OEr1.ODBC，BEC

11、E BC2.12在 RtOBE 中，OE 2BE 2OB 2, (r1) 22 2r 2，解得 r .52故O 的半径为 .52例 4 解析 (1)根据等腰三角形三线合一的性质证明；(2)两个三角形有一个公共角，只要再证明一对对应角相等即可；(3)由 ACCE 联想到BECADC.再由 PDAD 联想到证明BPDABD，综合可得ACCE2PDAD.证明：(1)AB 是O 的直径，ADB90，即 ADBC.7又ABAC，D 是 BC 的中点(2)在BEC 与ADC 中，CC，CBECAD，BECADC.(3)BECADC， .BCAC CECDD 是 BC 的中点，2BD2CDBC， ，则 2B

12、D2ACCE.2BDAC CEBDABAC，ADBC，CADBAD.又CADCBE，CBEBAD.又BDPADB，BPDABD， ，则 BD2PDAD.BDAD PDBD由得 ACCE2BD 22PDAD，ACCE2PDAD.例 5 解析 B 因为四边形 ABCD 内接于O，所以ADC180ABC18010575.因为 ，所以DCEBAC25.因为ADCDCEE，所以DF BC EADCDCE752550.故选 B.例 6 证明：(1)BDBA，BDABAD.又1BDA，1BAD.(2)如图，连结 BO，AC 为O 的直径，ABC90.BADBCD180，1BCD180.OBOC，1CBO，C

13、BOBCD180，OBDC.BEDC，BEOB.又OB 是O 的半径，BE 是O 的切线例 7 解析 D 由菱形的性质，在 RtABO 中，易得 AB5，于是以 AB 为直径的半圆的面积为 ( )2 ，阴影部分的面积为以 AB 为直径的半圆的面积减去 RtABO 的面积，12 52 258即 6.2588点评 求不规则图形的面积的主要方法是将图形分割成规则图形，然后求出各规则图形的面积，再用它们的和或差求不规则图形的面积例 8 解析 A 由AOB 为 120，弦 AB 的长为 2 cm，可以求出 OAOB2 cm，所以3扇形的弧长为 2 ，它等于圆锥的底面周长，即 2 r 2 ，解得 r (c

14、m)120180 120180 23例 9 解：(1)证明：如图，延长 BP 至点 E，使 PEPC，连结 CE.1260，3460，CPE60，PCE 是等边三角形，CEPC，E360.又EBCPAC，BECAPC，PAEBPBPEPBPC.(2)证明：如图，过点 B 作 BEPB 交 PA 于点 E.122390，13.又易知APB45，PBEB，PE PB.2又ABCB，ABECBP，PCEA，PAEAPEPC PB.2(3)PAPC PB.3证明：如图，在 AP 上截取 AQPC，连结 BQ.9又BAPBCP，ABCB，ABQCBP，QBPB.又易知APB30，PQ PB，3PAAQPQPC PB.3