1、1专题 01 空间几何体专题本重点包括柱、锥、台、球的概念、性质、表面积与体积，直观图与三视图，这些是立体几何的基础，也是研究空间问题的基本载体，所以是高考考查的热点。知识框架1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积和体积一、考查形式与特点1、本章内容多以客观题出现，考查基本知识，对空间几何体的特征与性质的理解，三视图和直观图，几何体表面积与体积的计算等。三视图考查特点：一是给出空间图形，选择其三视图；二是已知其中两种三视图，画出另外一种视图；三是三视图与面积体积计算结合在一起考查。2、球体在近几年的高考中出现频率较高，特别是棱柱、棱锥中球的内切、外接问题，在复
2、习时更要注意多练习相关的题目。对球中的体积、表面积、球面距离等问题也要进行重点掌握。23、培养与发展考生的空间想象能力、推理证明能力、运用图形语言进行交流的能力。考查空间想象能力及空间模型的构造能力。二、方法策略1、 “化整为零”是本章的基本思想。将一个复杂的几何体分割成若干个常见的熟悉的几何体，或者把几个简单的几何体组合成一个新的几何体，目的在于化繁为简，寻求解题的捷径。立体几何和平面几何有着密切的联系，空间图形的局部性往往可以透过平面图形的性质去研究，利用截面可以把锥体中的元素关系转化为三角形中的元素关系。2、 “以直代曲”的思想方法即通过空间图形的展开将立体几何问题转化为平面几何问题，曲
3、面问题转化为平面问题，如在推导圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式时，就是将其侧面展开，转化为长方形、扇形、圆环来解决。3、三视图之间的投影规律为：正、俯视图长对正；正、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等。三视图是新增内容，是高考考查重点，它能极大培养学生的空间想象能力与感知能力，熟悉常见简单几何体三视图在数量上的关系，善于将三视图中的数量关系与原几何体的数量关系联系起来，进行相关的计算。 4、球的表面积与体积的计算的关键是求出球的半径，然后再利用表面积公式及体积公式求解.球的表面积与体积问题常置于多面体的组合体中，解答时要充分利用切、接点正确作出过球心截面，从而使空间问题转化为平面问题，再利用球的半径与
4、多面体的元素的关系求解.特别要注意的题型是球与长方体、正方体的组合体.5、解决问题的重要手段：截、展、拆、拼（1） “截”是指截面，平行于柱、锥、台底面的截面，旋转体的轴截面是帮助我们解题的有力“工具”。（2） “展”指的是侧面或某些面的展开图。（3） “拆”指的是将一个几何体拆成几个几何体，比如，探求三棱锥的体积公式还有一种方法是将一个三棱柱拆成三个等体积的三棱锥。（4） “拼”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中去，比如，求三棱锥体积公式，既可用上面“拆”的方法，也可用“拼”的方法。三复习指导1、在正棱锥、台体中，要利用直角三角形（高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形、高、侧棱于底面外接圆
5、的半径组成一个直角三角形，底面的边心距、外接圆半径及底边一半组成一个直角三角形，侧3棱、斜高与底面一半组成一个直角三角形） ，进行有关计算。2、解与直观图有关的问题时，应熟练掌握斜二侧画法的规则，关键是确定直观图的顶点或其他关键点，因此，尽量把定点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上。3、求柱、锥、台的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出，但当高不知道时，求高比较困难，一般要转化为平面几何知识求出高。4、在复习中应注意对简单组合体的概念、性质以及面积、体积公式的理解和运用，在面积与体积的计算中，应以棱锥和不规则几何体的表面积、体积计算为主
6、，注意分割与补体等思想方法的灵活运用， 5、加强数学思想方法的训练。转化、化归思想贯穿立体几何始终，是处理立体几何问题的基本数学思想，在复习中考生应注意培养化归、转化意识，掌握常见的化归、转化方法。如：等积转化，立体几何问题向平面问题转化等，复习本章时还要注意加强阅读能力、理解能力的训练。另外还要注意识图、理解图、应用图的能力的长期培养，做题时多画、多看、多想，在训练中，还应变换图形的位置角度，克服“标准图”带来的思维定势，真正树立空间观念。典例剖析1.三视图与直观图 例 1、已知某线段的正视图、俯视图、侧视图对应线段长度分别为 2，4，4，试求此线段的长度。【分析】能正确画出对应线段的三视图
7、是解决此题的关键。【点评】能够把三视图的投影面移到对应的空间几何体上是画三视图的一种有效方法。例 2如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是（ ）4A 34 B 63C 21 D【答案】B【点评】本题考查了三视图的知识，解决本题的关键是由三视图明确是怎样的一个几何体，同时要熟记圆锥的体积公式。 2.几何体表面积、体积的计算例 3 三棱柱 1CBA中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 1CEB将三棱柱分成体积为21,V的两部分，那么 2:V_.【答案】7：5【解析】设三棱柱的高为 h，上下底的面积为 S，体积为 V
8、，则 SV21，因为 E、F 分别为 AB、AC 的中点，所以 ShShAEF 127)41(3,41 ，5ShV1252，所以 21:V7：5.【点评】解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系，最后用统一的量建立比值得到结论即可.例 4.如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1cm和半径为 3c的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为 20，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为 28cm，则这个简单几何体的总高度为（ ）（ ）A 29cm B 30 C 32c D 48c【分析】求解本题抓住解题
9、关键：无论如何放置，水的体积是不变的。根据这点结合体积公式就可以求解。【答案】A3.考查空间几何体与线、面关系得交汇例 5：两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为 1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体” （1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线 DE与 CF所成的角；（2）问此正子体的体积 V 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围6【解题思路】求异面直线所成角一般通过平移转化为平面角解决，或利用向量法也是求解这类问题的重要方法，可以使问题转化为代数运算解决。
10、第二问通过设出边长，可以列出关于体积的目标函数，最终转化为二次函数来解决。 21)()1(22xxAD故 ,SBC 31,631231231 ABCDABCDADSShV7【点评】本题考查了组合问题，这类问题一般涉及两类几何体组合在一起，由于组合体能考查学生更多的几何体知识，能够更好考查空间想象能力，符合大纲能力要求的“空间考查能力” ，组合体已成为近几年高考命题的新热点。需要抓住组合体之间的联系，把空间问题转化为平面问题解决是处理空间几何问题常见的方法。【创新题求解方法】一.公式法例 1（2018新课标）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O 2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面
11、是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A12 2 B12 C8 2 D10【分析】利用圆柱的截面是面积为 8 的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积【答案】B【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，解决本题的关键是求得圆柱的底面半径和高。再利用公式求得表面积。二.等体积法等积变换法：相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底（注意：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面） ；液状物体的形状改变体积不变（比如：水在容器中形状可以多变） ， 等底面积等高的两个同类几何体的体积相等，体积相等的两个几何体叫做等积体。例 2（2018南京建邺
12、区一模）如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1的各条棱长均为 2，D 为棱 B1C1上任意一点，则三棱锥 DA 1BC 的体积是 8【分析】由已知可得三棱柱 ABCA 1B1C1为正三棱柱，分别求出三角形 BCD 的面积及 A1 到平面 BCC1B1的距离，再由等积法得答案【答案】 23【解析】如图，由题意可知，三棱柱 ABCA 1B1C1为正三棱柱如图，D 为棱 B1C1上任意一点，则 2,DSAA1 到平面 BCC1B1 的距离 d= 3 11 233BCADV故答案为： 23【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查利用等积法求多面体的体积，本题就是根据变换底面和高来证明相关的等量关系的.在三棱
13、锥中，用换底面（同时也换高）的方法，常常能把复杂问题简单化、直观化.三割补法例 3（2018安徽模拟）如图 1 所示是一种生活中常见的容器，其结构如图 2，其中 ABCD 是矩形，ABFE 和CDEF 都是等腰梯形，且 AD平面 CDEF，现测得 AB=20cm，AD=15cm，EF=30cm，AB 与 EF 间的距离为25cm，则几何体 EFABCD 的体积为 cm 3【分析】所求几何体是非规则几何体，把几何体的体积分解为三棱锥 ADCE，AEFC 与 BAFC 的体积，然后利用等积法求解9【答案】3500 几何体 EFABCD 的体积为 VEFABCD =VADCE +VAEFC +VBA
14、FC =1000+1500+1000=3500cm3故答案为：3500【点评】本题考查利用等积法求多面体的体积，考查割补法在求解不规则几何体中的巧妙运用。四构造法例 4 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2，DAB=60，E 为 AB 的中点，将ADE 与BEC 分别沿ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 PDCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）A 4327B 6C 8D 624【答案】C10【点评】通过构造长方体或正方体，使得分散问题集中在一个特殊的空间几何体中，使得所求问题直观化、简单化。【创新测试题】一选择题1将边长是 2 的正方形以其一边所在直线为旋转轴绕转一周
15、，所得几何体的侧面积（ ）.A. B. 8 C. 4 D. 6【答案】B【解析】边长是 2 的正方形，绕其一边旋转一周得到的几何体是圆柱，则所得几何体的侧面积是28.2一个球的表面积是 16，那么这个球的体积为（ ）A. 316 B. 32 C. 16 D. 24【答案】B【解析】一个球的表面积是 16，所以球的半径为：2；那么这个球的体积为： 32 。3 水平放置的 ABC由“斜二测画法”画得的直观图如图所示，已知 ,ACB，则 AB边上的中线实际长度为（ ）（A） 5 （B） 5（C） 2（D） 2【答案】C 【解析】直观图中 3,A，所以 RtABC 中，AC=3,BC=4,由勾股定理可
16、得 AB=5，则 AB 边上的中线的实际长度是 52。4.正 四 面 体 、 正 方 体 的 棱 长 与 等 边 圆 柱 （ 底 面 直 径 和 高 相 等 的 圆 柱 ） 的 高 及 球 的 直 径 都 相 等 则 哪 一个 表 面 积 最 小 （ ）A 球 B 正 四 面 体 C 等 边 圆 柱 D 正 方 体【 答 案 】 B11显然正四面体的表面积最小；故选 B5. 下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）A 3465BC 13D 765【答案】A 1162546252=346.故选 A.6. 如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出 A、B、C、D、E、F 这六个字母，
17、现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母 A、B、C 对面的字母依次分别为（ ）A.D、E、F B.F、D、E C. E、F、D D. E、D、F12【答案】D【解析】第一个正方体已知 A，B，C，第二个正方体已知 A，C，D，第三个正方体已知 B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，则可知 A 对面标的是 E，B 对面标的是 D，C 对面标的是 F故选 D7 已知棱长为 2 的正方体（上底面无盖）内部有一个球，与其各个面均相切，在正方体内壁与球外壁间将满水，现将球向上提升，当球恰好与水面相切时，则正方体的上底面截球所得圆的面积等于（ ）A. 39B. 2(6)9C. 3
18、69D. 32【答案】B8.如图是棱长为 2 的正方体的表面展开图，则多面体 ABCDE 的体积为（ ）A.2 B. 23 C. 43 D. 83【答案】D【解析】多面体 ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其体积 4V，故选 D 9.将一张边长为 12cm 的纸片按如图 1 所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图 2 放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图 3） ，则正四棱锥的体积是（ ）13A. 32cm B. 326cm C. 364cm D. 64【答案】C【解析】图 1 中的虚线长
19、为图 2 正四棱锥的底面边长，设为 x，又正四棱锥的正视图是正三角形，正四棱锥的斜高也为 x，由图 1 得 62x，解得 42x，即正四棱锥的底面边长为 42，四棱锥的高为 3426，四棱锥的体积 136V364cm，故选：C10.已知三棱锥 DAB中，AB=BC=1，AD=2，BD= 5，AC= 2，BCAD，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为（ ）A.表面积是 S= 1(523) B. 表面积 S= （ +2 +2）C. 体积为 V=1 D. 体积为 V= 23【答案】A11.如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，E 是 AB 的中点，D 是 AA1的中点，则三棱锥 DB 1C1E 的体
20、积与三棱柱 ABCA 1B1C1的体积之比是（ ）14A. 14 B. 16 C. 18 D. 38【答案】A12.如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1中，点 P 为线段 AD1上一动点，点 Q 为底面 ABCD 内（含边界）一动点，M为 PQ 的中点，点 M 构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（ ） 15A.棱柱 B. 棱锥 C. 棱台 D.球【答案】A【解析】 Q 点不能超过边界，若 P 点与 A 点重合，设 AB 中点 E、AD 中点 F，移动 Q 点，则此时 M 点的轨迹为：以 AE、AF 为邻边的正方形；下面把 P 点从 A 点向上沿线段 AD1移动，在移动过程中可得 M
21、点轨迹为正方形，最后当 P 点与 D1点重合时，得到最后一个正方形，故所得几何体为棱柱，故选：A二填空题13.长方体 ABCDA 1B1C1D1中截去一角 B1A 1BC1，则它的体积是长方体体积的 _。【答案】 56【解析】设长方体的三度为：a，b，c，则长方体的体积为：abc，截去一角 B1A 1BC1的体积为：1=ac32，所以截去一角 B1A 1BC1后的体积与长方体体积的比为： 56故答案为： 。14.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 _。 31 2 2正 视 图 侧 视 图俯 视 图16【答案】 (8)36 15. 已知正方形 ABCD，AB=2，若将ABD 沿正方
22、形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体 ABCD 的体积的最大值是 。【答案】 23【解析】三棱锥 ABCD 的底面为BCD，面积为 2，易知当平面 ABD 垂直于平面 BCD 时，该三棱锥高为 OA最大，体积为 1233故答案为： 316.将长、宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到四面体 ABCD，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 【答案】 125617【解析】由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，长宽分别为 3 和 4 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起二面角，得到四面体 ABCD，则四面体 ABCD 的外接球的半径
23、，是 152AC，所求球的体积为： 2451().36故答案为： 1256三解答题17.如图所示是一个半圆柱 OO1与三棱柱 ABCA 1B1C1的组合体，其中，圆柱 OO1的轴截面 ACC1A1是边长为4 的正方形，ABC 为等腰直角三角形，ABBC试在给出的坐标纸上画出此组合体的三视图【解析】由题意可知几何体的正视图与左视图都是中间有一条线段的矩形，俯视图是半圆与等腰三角形组成，如图：18. 底面边长为 2的正三棱锥 -PABC，其表面展开图是三角形 123P，如图. 求 123P 的各边长及此三棱锥的体积 V.18 12324P，三棱锥 PABC是边长为 2 的正四面体如右图所示作图，设
24、顶点 在底面 内的投影为 O，连接 B，并延长交 AC于 D D为 AC中点， O为 的重心， 底面 9 分 23B， 26P， 132632V12 分1919.某机器零件是如图所示的几何体（实心） ，零件下面是边长为 10cm 的正方体，上面是底面直径为 4cm，高为 10cm 的圆柱（）求该零件的表面积；（）若电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌 0.11kg，问制造 1000 个这样的零件，需要锌多少千克？（注： 取 3.14）20.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图是等腰直角三角形，俯视图是直角梯形。（1）证明： 1BNC面（2）求三棱锥 C 的体积。20
25、【解析】 （1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则 NABC11面,且在面 B1内，易证 1NB为直角。2 分A面， 且面 , C4 分11,C又 且 , 1面 6 分(2) 由等体积法, 111 64(8)233CNBNCBVV12 分21. （原创）如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为 设圆锥纸筒底面半径为 r，高为 h（1）求出 r 与 h 满足的关系式；（2）当 h=3 是，求工厂制作一个该纸筒所需要的材料的面积。【解析】 （1）设圆锥纸筒的容积为 V，则 V= 213rh， 22.如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AA 1=AD=1，E 为 CD 中点21（1）求证：AD 1B 1E；（2）若 AB=2，求平面 AB1E 把长方体 ABCDA 1B1C1D1分成的两部分几何体的体积的比值【解析】 （1）连 B1C 和 A1D
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