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1、11.5.1 比较法在理解比较法的基础上，会用作差、作商两种形式的比较法比较两个代数式的大小，会用比较法证明较简单的不等式.自学导引1.因为 aba b0，要证 ab，只需要证 a b0，同样要证 ab，只需证 1；如果 a、 b 都是负数，要证 ab，只需证 1 D. b2ba (12)a2 (12)解析 ab20，lg a2lg b2，故选 B.答案 B2.已知 a0 且 a1， Plog a(a31)， Qlog a(a21)，则 P、 Q 的大小关系是( )A.PQ B.P1 时， a31 a21，log a(a31)log a(a21)，当 0log a(a21)，综合以上两种情况知

2、 PQ，故选 A.答案 A3.设 P a2b25， Q2 ab a24 a，且 ab1， a2.则 P、 Q 的大小关系是_.解析 P Q a2b252 ab a24 a( ab1) 2( a2) 20， PQ.答案 PQ知识点 1 两代数式大小的比较【例 1】 已知 x0， x y0，( x2 y2)(x y)(x2 y2)(x y).反思感悟：实数大小的比较常用 aba b0 或“ 1，且 b0ab”来解决，比较法ab的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的符号判断.1.设 a0， b0 且 a b，试比较 aabb与 abba的大小.解 aa bbb a .aabba

3、bba (ab)a b 当 ab0 时， 1， a b0，则 1，ab (ab)a b 于是 aabbabba.当 ba0 时，01，于是 aabbabba.(ab)a b 综上所述，对于不相等的正数 a、 b，都有 aabbabba.知识点 2 作差比较法证明不等式【例 2】 设 a0， b0，求证 a b .(a2b)12 (b2a)12 12 12证明 方法一：左边右边 ( )（ a） 3 （ b） 3ab a b（ a b） （ a ab b） ab（ a b）ab 0.（ a b） （ a 2ab b）ab （ a b） （ a b） 2ab原不等式成立.方法二：左边0，右边0.左

4、边右 边 （ a b） （ a ab b）ab（ a b） 1，a ab bab 2ab abab原不等式成立.反思感悟：用比较法证不等式，一般要经历作差(或作商)、变形、判断三个步骤，变形的主要手段是通分、因式分解或配方，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩.32.设 a b0，求证：3 a32 b33 a2b2 ab2.证明 3 a32 b3(3 a2b2 ab2)3 a2(a b)2 b2(b a)(3 a22 b2)(a b).因为 a b0，所以 a b0，3 a22 b20，从而(3 a22 b2)(a b)0.即 3a32 b33 a2b2 ab2.知识点 3 作商比较法证明不等

5、式【例 3】 已知 abc0，求证： aabbcc(abc) (a b c).13证明 a b c a aabbcc（ abc） 13（ a b c） 2a b c3 2b a c3 2c a b3 a b3 a c3b c .b a3 b c3 c a3 c b3 (ab)a b3 (ac)a c3 (bc)b c3 ab0， a b0， 1， 1.ab (ab)a b3同理可证 1， 1，(ac)a c3 (bc)b c3 aabbcc(abc) (a b c).13反思感悟：作商后通常利用不等式的性质、指数函数的性质、对数函数的性质来判断商式与 1 的大小.3.设 m ， n ，那么它们

6、的大小关系是 m_n.|a| |b|a b| |a b|a| |b|解析 mn|a| |b|a b|a b|a| |b| （ |a| |b|） |a| |b|a b|a b| 1， m n.|a2 b2|a2 b2|答案 课堂小结1.比较法有两种形式，一是作差；二是作商.用作差证明不等式是最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.2.步骤是：作差(商) 变形 判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与 0 的大小关系，为了便于判断，往往把差式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与 1 的大小关系.43.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用.随堂演

7、练1.a、 b 都是正数， P ， Q ，则 P， Q 的大小关系是( ) a b2 a bA.PQ B.Pa，下面比较 b， c.b c1 x 0 时， ab 1；ab当 b0 时， a0， b0 时， 1ab；ab当 ab0 时， 1ab，其中真命题有( )abA. B.C. D.解析 正确，中若 a ，又 a2， b2都为正数，1a1b最小的为 .1b5答案 1b基础达标1.若 a， b 为不等的正数，则( abk akb)( ak1 bk1 ) (kN *)的符号( )A.恒正 B.恒负C.与 k 的奇偶性有关 D.与 a， b 大小无关解析 ( abk akb) ak1 bk1 bk

8、(a b) ak(b a)( a b)(bk ak) a0， b0，若 ab，则 akbk，( a b)(bk ak)Q D.P0， Q0， P Q.答案 B3.对 x1x20，0y1y2 B.x1x2 y1y2C.x1x25，则 与 的大小关系是_.a 3 a 4 a 4 a 5解析 因为 a5，只需比较 与 2 的大小，两数平方，即比较a 3 a 5 a 46与 a4 的大小，再平方，只需比较 a28 a15 与 a28 a16 的大小.（ a 3） （ a 5）答案 0， a b.a3b2 b3a2 a3b2 b3a2综合提高7.设 asin 15cos 15， bsin 16cos 1

9、6，则下列各式正确的是( )A.aab sin 60 sin 61a2 b22 2 2 sin 61 sin 61 b，故 aad，则 ， ， ， 中最大的是( )ab a cb d a 2cb 2d cdA. B.ab a cb dC. D.a 2cb 2d cd解析 0，cd a cb d bc cd ad dcd（ b d） bc add（ b d） 0，cd a 2cb 2d bc 2cd ad 2cdd（ b 2d） bc add（ b 2d）7所以最大的是 .cd答案 D9.设 x a2b25， y2 ab a24 a，若 x y，则实数 a、 b 应满足的条件是_.解析 若 x

10、y，则 x y a2b252 ab a24 a( ab1) 2( a2) 20.只要a20， ab10 两个中满足一个，即可使得 x y.答案 a2 或 ab110.设 a0， b0，则下列两式大小关系为 lg(1 )_ lg(1 a)lg(1 b).ab12解析 (1 a)(1 b)(1 2) a b2 ( )20，lg(1 a)(1 b)ab ab a blg(1 )2，ab即 lg(a1)lg(1 b)lg(1 ).12 ab答案 11.设 mR， ab1， f(x) ，比较 f(a)与 f(b)的大小.mxx 1解 f(a) f(b) .maa 1 mbb 1 m（ b a）（ a 1

11、） （ b 1） ab1， b a0， b10， 0 时， 0， f(a)f(b)；m（ b a）（ a 1） （ b 1）当 m0 时， 0， f(a) f(b).m（ b a）（ a 1） （ b 1）12.已知 a， bR ， nN，求证：( a b)(an bn)2( an1 bn1 ).证明 ( a b)(an bn)2( an1 bn1 ) an1 abn ban bn1 2 an1 2 bn1 a(bn an) b(an bn)( a b)(bn an).(1)若 ab0， bn an0，( a b)(bn an)a0， bn an0， a b0，( bn an)(a b)0，8综上(1)(2)(3)可知，对 a， bR ， nN，都有( a b)(an bn)2( an1 bn1 ).