1、13.2.3 指数函数与对数函数的关系【选题明细表】知识点、方法 题号求反函数(或反函数值) 1,3,4,5,6,7指数函数与对数函数关系 2,8反函数的应用 9,101.设 f(x)=3x+9,则 f-1(x)的定义域是( B )(A)(0,+) (B)(9,+)(C)(10,+) (D)(-,+)解析:因为 f(x)=3x+99,所以反函数的定义域为(9,+),故选 B.2.设 a= ,b= ,c=lo x,若 x1,则 a,b,c 的大小关系为( C )(A)a1,所以 a= =1,所以 00,a1)的反函数,其图象过点( ,a),则 f(x)等于( B )(A)log2x (B)lo
2、x (C) (D)x2解析:y=a x的反函数是 y=logax,因为图象过点( ,a),所以 a=loga ,所以 a= ,即 f(x)=lox.故选 B.4.已知 y=f(x)在 R 上单调递增,且满足 f(1)=2,则 y=f(x)的反函数的图象恒过点( D )(A)(1,2) (B)(0,2) (C)(2,0) (D)(2,1)解析:由反函数定义可知恒过点(2,1),故选 D.5.若函数 f(x)的反函数为 f-1(x)=x2(x0),则 f(4)= . 解析:设 f(4)=b,则 4=f-1(b)=b2且 b0,所以 b=2.即 f(4)=2.答案:226.已知函数 f(x)= 则
3、f-1 = . 解析:设 f-1 =x,则 f(x)= .令 x2+1= ,得 x= ,因为 0x1,所以 x= .令 2x= ,得 x= ,与-1x0 且 a1),若 f(3)g (3)0 且 a1)互为反函数,所以它们具有相同的单调性.所以排除 A 和 D.又 f(3)g(3)0,g(3)0,所以排除 B,选 C.9.已知函数 f(x)= 的图象与函数 g(x)的图象关于直线 y=x 对称,令 h(x)=g(1-|x|),则3关于 h(x)有下列命题:(1)h(x)的图象关于原点对称;(2)h(x)为偶函数;(3)h(x)的最小值为 0;(4)h(x)在(0,1)上为减函数.其中正确命题的
4、序号为 .(将你认为正确的命题的序号都填上) 解析:g(x)=lo x,则 h(x)=g(1-|x|)=lo (1-|x|)(-1x1),所以 h(x)是偶函数,故(1)错,(2)正确.又 h(x)=lo (1-|x|)lo 1=0,所以(3)正确.因为 u=1-|x|在(0,1)上为减函数,h(x)=lo u 为减函数,所以 h(x)在(0,1)上为增函数,(4)错.答案:(2)(3)10.设方程 2x+x-3=0 的根为 a,方程 log2x+x-3=0 的根为 b,试求 a+b 的值.解:(数形结合法)将方程整理得 2x=-x+3,log2x=-x+3.由图可知,a 是指数函数 y=2x的图象与直线 y=-x+3 交点 A 的横坐标,b 是对数函数 y=log2x 的图象与直线 y=-x+3 交点 B 的横坐标.由于函数 y=2x与 y= log2x 互为反函数,所以它们的图象关于直线 y=x 对称,由题意可得出 A,B两点也关于直线 y=x 对称,于是 A,B 两点的坐标分别为 A(a,b), B(b,a),而 A,B 都在直线y=-x+3 上,所以 b=-a+3,或 a=-b+3,故 a+b=3.
