1、12.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法二分法【选题明细表】知识点、方法 题号零点存在性判断 2,5,7求零点 3,6,9零点应用 10,11二分法 1,4,81.用二分法求如图所示函数 f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4解析:由题图知 x1,x2,x4是变号零点,可用二分法求出,x 3不是变号零点,不能用二分法求出.2.若函数 f(x)的图象在 R 上连续不断,且满足 f(0)0,f(2)0,则下列说法正确的是( C )(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没
2、有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于 f(0)f(1)0,所以 f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.故选 C.3.函数 f(x)=x3-2x2+3x-6 在区间-2,4上的零点必定属于( D )(A)-2,1 (B)2.5,4(C)1,1.75 (D)1.75,2.5解析:因为 f(-2)=-280,f(1)=-40, f(1.75)=-1.5156250,F(
3、)=( )3-2 -1=- 0.故选 D.8.下面是函数 f(x)在区间1,2上的一些点的函数值.x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 1.5 1.61 1.875 2f(x) -2 -0.984 0.260 -0.052 0.165 0.625 -0.315 4.35 6由此可判断:方程 f(x)=0 在1,2上解的个数( A )(A)至少 5 个 (B)5 个(C)至多 5 个 (D)4 个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在 x=1.25 与 x=1.375 这两个数对应的函数值的符号不同,即 f(1.25)f(1.375)0,于是 F(0)F(1)0,F(3)0,
4、故只有区间(0,1).答案:(0,1)10.(2018广西四校期中联考)已知函数 f(x)= x3-x2+1.(1)证明方程 f(x)=0 在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程 f(x)=0,x0,2的实数解 x0在哪个较小的区间内.(1)证明:因为 f(0)=10,f(2)=- 0,由此可得 f(1)f(2)=- bc,且 f(1)=0,试证明:f(x)必有两个零点;(2)设 x1,x2R,x 1bc,所以 a0,c0.所以方程 ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实根,所以 f(x)必有两个零点.(2)令 g(x)=f(x)- f(x1)+f(x2),则 g(x1)=f(x1)- f(x1)+f(x2)= f(x1)-f(x2).g(x2)=f(x2)- f(x1)+f(x2)= f(x2)-f(x1).因为 g(x1)g(x2)=- f(x1)-f(x2)2,且 f(x1)f(x 2),所以 g(x1)g(x2)0.所以 g(x)=0 在(x 1,x2)内必有一实根.所以方程 f(x)= f(x1)+f(x2)必有一实根属于区间(x 1,x2).
