1、1第二课时 直线与椭圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法 题号直线与椭圆的位置关系 1,2弦长问题 3,4,7中点弦问题 6最值问题 8定值、定点问题 11综合问题 5,9,10,12【基础巩固】1.直线 y=kx-k+1与椭圆 + =1的位置关系为( A )(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不确定解析:直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.故选 A.2.若直线 kx-y+3=0与椭圆 + =1有两个公共点,则实数 k的取值范围是( C )(A)(- , )(B)( )(- )(C)(-,- )( ,+)(D)(-,-
2、 )(- , )解析:由 可得(4k 2+1)x2+24kx+20=0,当 =16(16k 2-5)0,即 k 或 kb0)的上顶点 B和左焦点 F,且被圆 x2+y2=4截得的弦长为 L,若 L ,则椭圆离心率 e的取值范围是( B )(A)(0, ) (B)(0, )(C)(0, ) (D)(0, )解析:依题意,知 b=2,kc=2.设圆心到直线 l的距离为 d,则 L=2 ,解得 d2 .又因为 d= ,所以 ,解得 k2 .于是 e2= = = ,所以 0b0)过点(0,1),其长轴长、焦距和短轴长三者的平方成等差数列.直线 l与 x轴正半轴和 y轴分别交于 Q,P,与椭圆分别交于点
3、 M,N,各点均不重合且满足 = 1 , = 2 .(1)求椭圆的标准方程;(2)若 1+ 2=-3,试证明直线 l过定点并求此定点.解:(1)设椭圆的焦距为 2c,由题意知 b=1,且(2a) 2+(2b)2=2(2c)2,又 a2=b2+c2,所以 a2=3.所以椭圆的标准方程为 +y2=1.(2)由题意设 P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设 l方程为 x=t(y-m),由 = 1 知(x 1,y1-m)= 1(x0-x1,-y1),所以 y1-m=-y1 1,由题意 y10,6所以 1= -1.同理由 = 2 知 2= -1.因为 1+ 2=-3,所以
4、y1y2+m(y1+y2)=0,联立 得(t 2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,由题意知 =4m 2t4-4(t2+3)(t2m2-3)0,且有 y1+y2= ,y1y2= ,代入得 t2m2-3+m2mt2=0,所以(mt) 2=1,由题意 mtb0)的离心率为 ,过右焦点 F且斜率为 k(k0)的直线与 C相交于 A,B两点.若 =3 ,则 k= . 解析:根据已知 = ,可得 a2= c2,则 b2= c2,故椭圆方程为 + =1,即 3x2+12y2-4c2=0.设直线的方程为 x=my+c(m= ),代入椭圆方程得(3m 2+12)y2+6mcy-c2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则根据 =3 ,得(c-x 1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y 1=3y2,根据根与系数的关系得 y1+y2=- ,7y1y2=- ,把-y 1=3y2代入得,y 2= , = ,故 9m2=m2+4,故 m2= ,从而 k2=2,k= .又 k0,故 k= .答案:
