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1、1专题突破与题型专练 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动题型一:带电粒子在有界磁场中的临界极值问题1.如图所示,边长为 L 的正方形有界匀强磁场 ABCD,带电粒子从 A 点沿 AB 方向射入磁场,恰好从 C 点飞出磁场;若带电粒子以相同的速度从 AD 的中点 P 垂直 AD 射入磁场,从 DC 边的 M点飞出磁场(M 点未画出).设粒子从 A 点运动到 C 点所用时间为 t1,由 P 点运动到 M 点所用时间为 t2(带电粒子重力不计),则 t1t 2为( C )A.21 B.23 C.32 D. 解析:如图所示为粒子两次运动轨迹图,由几何关系知,粒子由 A 点进入 C 点飞出时轨迹所对圆心

2、角 1=90,粒子由 P 点进入 M 点飞出时轨迹所对圆心角 2=60,则 = = = ,故选项 C 正确.2.如图所示,在边长为 2a 的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,一个质量为 m、电荷量为-q 的带电粒子(重力不计)从 AB 边的中点 O 以速度 v 进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与 AB 边的夹角为 60,若要使粒子能从 AC 边穿出磁场,则匀强磁场磁感应强度 B 的大小需满足( B )A.B B.B D.Br0,解得 Br要使粒子在磁场中运动的时间最长,应使粒子在磁场中运动的圆弧最长,即所对应的弦最长.则以磁场圆直径为弦时,粒子运动的时间最长.设该弦

3、对应的圆心角为 2,而 T= = ,则最长运动时间tmax= T=又 sin = = ,得 = ,故 tmax=5.2310-8 s.答案:5.2310 -8 s题型二:带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题1.(2018济南高二检测)(多选)如图所示,匀强磁场的磁感应强度为 B,方向垂直纸面向里,4MN 是它的下边界.现有质量为 m,电荷量为 q 的带电粒子与 MN 成 30角垂直射入磁场,则粒子在磁场中运动的时间可能为( AD )A. B. C. D.解析:粒子在磁场中的偏转方向取决于所受的洛伦兹力的方向,不同电性的粒子所受的洛伦兹力的方向不同,本题没有明确粒子究竟带何种性质的电荷,所以粒子的

4、轨迹可能是图中的两条.由 qvB=m 和 T= 得 T= ,由图可知 t1= T= ,t2= T= .故选 AD.2.(多选)如图所示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内,O 点是 cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下,从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内,经过时间 t0后刚好从 c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成30角的方向,以大小不同的速率射入正方形内,那么下列说法中正确的是( AC )A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0,则它一定从 cd 边射出磁场B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0,则它一定从

5、 ad 边射出磁场5C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0,则它一定从 bc 边射出磁场D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0,则它一定从 ab 边射出磁场解析:如图所示,作出刚好从 ab 边射出的轨迹、刚好从 bc 边射出的轨迹、从 cd 边射出的轨迹和刚好从 ad 边射出的轨迹.由从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内,经过时间 t0后刚好从 c 点射出磁场可知,带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是 2t0.可知,从 ad 边射出磁场经历的时间一定小于 t0;从 ab 边射出磁场经历的时间一定大于等于 t0,小于 t0;从 bc 边射出磁场经历的时间一定大于等于 t0,

6、小于 t0;从 cd 边射出磁场经历的时间一定是 t0.3.(2018巴中高二月考)如图所示,左右边界分别为“PP,QQ”的匀强磁场的宽度为 d,磁感应强度大小为 B,方向垂直纸面向里.一个质量为 m、电荷量大小为 q 的微观粒子,沿与左边界成 =45方向以速度 v0垂直射入磁场.不计粒子重力,欲使粒子不从边界 OO射出,v0的最大值可能是( AC )A. B.C. D.解析:如果粒子带正电,粒子不从边界 QQ射出,速度 v0最大时运动轨迹如图(甲)所示.6由几何知识得 r-rsin(90-)=d,解得 r=(2+ )d,粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得 qv0

7、B=m ,解得 v0= ,故 A 正确,B 错误;如果粒子带负电,粒子不从边界 QQ射出,速度 v0最大时运动轨迹如图(乙)所示.由几何知识得 r+rsin(90-)=d,解得 r=(2- )d,粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qv0B=m ,解得 v0= ,故 C 正确,D 错误.4.如图所示,垂直纸面向里的匀强磁场以 MN 为边界,左侧磁感应强度为 B1,右侧磁感应强度为 B2,B1=2B2=2 T,比荷为 2106 C/kg 的带正电粒子从 O 点以 v0=4104 m/s 的速度垂直 MN进入右侧的磁场区域,求粒子通过距离 O 点 4 cm 的磁场边界上

8、的 P 点所需的时间.7解析:若粒子经过 P 点的轨迹如图(甲)所示,则粒子运动的时间t1= = = s= 10-6 s.若粒子经过 P 点的轨迹如图(乙)所示,则粒子运动的时间t2=T1+T2= + = 10-6 s.答案: 10-6 s 或 10-6 s(教师备用)1.如图所示,ABC 是与匀强磁场垂直的边长为 a 的等边三角形,比荷为 的电子以速度 v0从A 点沿 AB 边入射,欲使电子经过 BC 边,磁感应强度 B 的取值为( C )A.B B.B解析:设电子刚好从 C 点射出,电子运动轨迹如图所示,圆周运动的圆心为 O 点,由 2rcos 830=a 可知,r= ,由 r= 可得 B

9、= = ,因 B 越小,r 越大,越易从 BC 边射出,故欲使电子从 BC 边射出,B 应小于 ,C 正确.2.(多选)一质量为 m,电荷量为 q 的负电荷在磁感应强度为 B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍,则负电荷做圆周运动的角速度可能是( AC )A. B. C. D.解析:依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”,磁场方向有两种可能,且这两种可能方向相反.在方向相反的两个匀强磁场中,由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的.当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时,根据牛顿第二定律

10、可知 4Bqv=m ,得 v=,此种情况下,负电荷运动的角速度为 = = ,当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时,有2Bqv=m ,得 v= ,此种情况下,负电荷运动的角速度为= = .应选 A,C.3.(2018商丘高二联考)如图所示,一矩形区域 abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为 B 的匀强磁场,在 ad 边中点 O 以某一初速度,垂直磁场向里射入一带正电的粒子.已知粒子质量为 m,电荷量为 q,ad 边长为 2L,ab 边足够长,粒子重力不计.9(1)若粒子垂直 ad 边射入恰好能从 a 点离开磁场,求初速度 v1;(2)若此正粒子方向如图与 ad 边夹角为 =30射入

11、磁场(v 2大小未知),恰好在磁场内经过下边界 cd 边缘,最终从 ab 边上某点射出磁场,求这种情况下粒子在磁场中运动的时间 t.解析:(1)若从 a 处穿出,运动轨迹如图所示.由几何关系可知 R1= ,根据牛顿第二定律 qvB= ,得 v1= .(2)由 T= ,得 T= ,圆弧与 cd 边相切,由几何关系 R2-R2sin =L 得 R2=2L,可知圆心在 ab 上,圆心角 =150,在磁场中运动的时间 t= T= .答案:(1) (2)4.如图所示,第一象限范围内有垂直于 xOy 平面的匀强磁场,磁感应强度为 B.质量为 m,电荷量大小为 q 的带电粒子在 xOy 平面里经原点 O 射

12、入磁场中,初速度 v0与 x 轴夹角 =60,试分析计算:(1)带电粒子从何处离开磁场?穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大?(2)带电粒子在磁场中运动时间多长?解析:若带电粒子带负电,进入磁场后做匀速圆周运动,圆心为 O1,粒子向 x 轴偏转,并从 A点离开磁场.10若带电粒子带正电,进入磁场后做匀速圆周运动,圆心为 O2,粒子向 y 轴偏转,并从 B 点离开磁场.不论粒子带何种电荷,其运动轨道半径均为 R= .如图,有 O1O=O2O=R=O1A=O2B,带电粒子沿半径为 R 的圆运动一周所用的时间为T= = .(1)若粒子带负电,它将从 x 轴上 A 点离开磁场,运动方向发生的偏转角 1=120.A 点与 O点相距 x= R= ,若粒子带正电,它将从 y 轴上 B 点离开磁场,运动方向发生的偏转角 2=60,B 点与 O 点相距 y=R= .(2)若粒子带负电,它从 O 到 A 所用的时间为t1=( )T= ,若粒子带正电,它从 O 到 B 所用的时间为t2=（ ）T= .答案:见解析