1、12.1 整式第 3 课时 多项式情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比 导入 悬念激趣情景导入 如图 2115，我们学校的操场由一个长方形和两个半圆组成图 2115(1)两个半圆的面积和是多少？(2)整个操场的面积是多少？(待得出以上两个答案后)观察这两个式子之间有哪些区别和联系呢？这就是我们这节课要研究的整式说明与建议 说明：从学生身边的情境出发，使学生了解整式的实际背景，进一步理解字母表示数的意义，既巩固了旧知识，又可以借此自然引入新课建议：在丰富的情境中，学生再一次经历了用字母表示数量关系的过程，有效地激发了学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性也可以采取以下方式提问学生：(1)
2、是单项式，(2)是单项式吗？和(1)相比有什么区别呢？复习导入用字母表示数：(1)若长方形的长与宽分别为 a，b，则长方形的周长是_2(ab)_；(2)若某班有男生 x 人，女生 21 人，则这个班共有学生_(x21)_人；(3)鸡兔同笼，鸡 a 只，兔 b 只，则共有头_(ab)_个，脚_(2a4b)_只观察以上所得出的四个式子，与上节课所学的单项式有何区别说明与建议 说明：由于本课的主题是多项式，通过用字母表示数引入多项式，既是对前面知识的回顾，又由此导入新课，既符合学生的认知水平，又能为学生学习新知识提供丰富的素材建议：由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、
3、比较、归纳的能力，同时又锻炼了他们的语言表达能力通过特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教师可给予适当的提示及补充命题角度 1 多项式的有关概念多项式的项数是由组成该多项式的单项式的个数确定的，有几个单项式就有几项，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”2例 佛山中考 多项式 12xy3xy 2的次数及次数最高的项的系数分别是( A )A3，3 B2，3 C5，3 D2，3命题角度 2 多项式的项及次数的应用根据多项式的有关概念，列出方程，解方程求出待定字母的值，再代入所求的式子求值即可例 济宁中考 如果整式 xn2 5x2 是关于 x 的二次三项式，那么 n 等于( B )A3
4、B4 C5 D6P58 练习1填空：(1)a， b 分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长 l_，面积S_，当 a2 cm， b3 cm 时， l_ cm， S_ cm 2；(2)a， b 分别表示梯形的上底和下底， h 表示梯形的高，则梯形的面积 S_，当 a2 cm， b4 cm， h5 cm 时， S_ cm 2.答案 (1)2( a b) ab 10 6(2) h 15（ a b）22用整式填空，指出单项式的次数以及多项式的次数和项：(1)每袋大米 5 kg， x 袋大米( )kg；(2)如图(图中长度单位：m) ，阴影部分的面积是( )m 2；(3)体重由 x kg 增加 2 kg
5、后是( )kg.答案 (1)5 x，次数为 1；(2)x23 x6，次数为 2，有三项： x2，3 x，6；(3)x2，次数为 1，有两项： x，2.P59 习题 2.1复习巩固1列式表示：(1)棱长为 a cm 的正方体的表面积(2)每件 a 元的上衣，降价 20%后的售价是多少元？(3)一辆汽车的行驶速度是 v km/h， t h 行驶多少千米？(4)长方形绿地的长、宽分别是 a m， b m，如果长增加 x m，新增加的绿地面积是多少平方米？答案 (1)6 a2 cm2；(2) a(120%)；(3) vt；(4) xb.2列式表示：(1)温度由 t 上升 5 后是多少？(2)两车同时、
6、同地、同向出发，快车行驶速度是 x km/h，慢车行驶速度是 y km/h，3 h 后两车相距多千米？(3)某种苹果的售价是每千克 x 元( x10)，用 50 元买 5 kg 这种苹果，应找回多少钱？3(4)如图(图中长度单位：cm)，钢管的体积是多少？答案 (1) t5；(2)3( x y)；(3)505 x；(4) a(R2 r2)3填表：整式 15 ab 4a2b2 3x2y5 4x23 a42 a2b2 b4系数次数项答案 整式 15 ab 4a2b2 3x2y5 4x23 a42 a2b2 b4系数 15 4 35 4，3 1，2 ，1次数 2 4 3 2 4项 1 1 1 2 3
7、综合运用4测得一种树苗的高度与树苗生长的年数的有关数据如下表(树苗原高 100 cm)：年数 高度/cm1 10052 100103 100154 10020 前四年树苗高度的变化与年数有什么关系？假设以后各年树苗高度的变化与年数保持上述关系，用式子表示生长了 n 年的树苗的高度答案 前四年树苗高度每年增长 5 cm.生长了 n 年的树苗的高度是(1005 n)cm.5礼堂第 1 排有 a 个座位，后面每排都比前一排多一个座位. 第 2 排有多少个座位？第 3 排呢？用式子表示第 n 排的座位数如果第 1 排有 20 个座位，计算第 19 排的座位数答案 第 2 排有( a1)个座位，第 3
8、排有( a2)个座位，第 n 排的座位数为( a n1)个第 19 排的座位数；2019138(个)6一块三角尺的形状和尺寸如图所示如果圆孔的半径是 r，三角尺的厚度是 h，用式4子表示这块三角尺的体积 V.若 a6 cm， r0.5 cm， h0.2 cm，求 V 的值( 取 3)答案 V a2h r2h，当 a6 cm， r0.5 cm， h0.2 cm，3 时，12V 620.230.5 20.23.45(cm 3)12拓广探索7设 n 表示任意一个整数，用含 n 的式子表示：(1)任意一个偶数； (2)任意一个奇数答案 (1)2 n；(2)2 n1.83 个球队进行单循环比赛(参加比赛
9、的每一个队都与其他所有的队各赛一场)，总的比赛场数是多少？4 个队呢？5 个队呢？ n 个队呢？答案 3 个队赛 3 场，4 个队赛 6 场，5 个队赛 10 场， n 个队赛 场n（ n 1）29对于密码 L dp d vwxghqw，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙” x3，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它英语字母表中字母是按以下顺序排列的：a b c d e f g h i j k 1 m n o p q r s t u v w x y z如果规定 a 又接在 z 的后面，使 26 个字母排成圈，并能想到 x3 可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前
10、移动 3 位的字母”，按这个规律就有L dp d vwxghqw I am a student.这样你就能解读它的意思了为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的“钥匙”上面的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为“钥匙”的式子 x3 的含义，那么他们就可以用一种保密方式通信了你和同伴不妨也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信答案 略当堂检测1. 多项式-x 2 - 3x+2 的各项分别是（ ）A. -x2 、 3x、 2 B. -x2 、- 3x 、2 C. -x2 、3x +2 D. x2、 - 3x、+2 2. 在代数式 x2+
11、5， -1， x 2-3x+2， ， ，x 2+ ，0 中，整式有（ ）a1A3 个 B4 个 C5 个 D6 个3. 一组按规律排列的多项式：a+b，a 2-b3，a 3+b5，a 4-b7，其中第 10 个式子是（ ）5Aa 10+b19 Ba 10-b19Ca 10-b17 Da 10-b214代数式： 是_ 次_项式，其中二次项的系数是_ .5)1(223x5. 某班级中一个小组 5 人，在一次测试中，小华得了 72 分，其余 4 人的平均分数为 a 分，则这个小组的平均分数是_ .参考答案：1. B 2. C3. B 4. 三 四 - 525. 74a能力培优专题一 用代数式表示实际
12、问题1.10 名学生的平均成绩是 x，如果另外 5 名学生每人得 84 分，那么整个组的平均成绩是（ ）2.某种商品进价为 a 元/件，在销售旺季，商品售价较进价高 30%；销售旺季过后，商品又以 7 折（即原售价的 70%）的价格开展促销活动，这时一件该商品的售价为（ ）. A.a 元 B.0.7 a 元 C.1.03 a 元 D.0.91 a 元 专题二 单项式的系数与次数3.代数式-2 3xy3的系数与次数分别是（ ）A-2，4 B-6，3 C-2，3 D-8，44.如果-3 3amb2是 7 次单项式，则 m 的值是（ ）A6 B5 C4 D25.写出含有字母 x， y 的四次单项式
13、（答案不唯一，只要写出一个）6.判断下列各式是否是单项式，是单项式的写出系数和次数3a, xy2, , , x, (a+1), 12 5xy4 a 13 1x专题三 考查多项式的项、项数与次数7.如果一个多项式的次数是 6，则这个多项式的任何一项的次数都( ) A.小于 6 B.等于 6 C.不大于 6 D.不小于 6 8.若 ，则 = .210a24013a9.m 为何值时， 是五次二项式？21()mxy6专题四 列代数式解决中考中的规律探索题10.（2012山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形组合成的一组有规律的图案，则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 （用含有 n 的代数式表
14、示）. 11.（2012桂林）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第 n 个图中的阴影部分小正方形的个数是 .12.（2011汕头）如图数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第 8 行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第 8 行共有 个数；（2）用含 n 的代数式表示：第 n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第 n 行共有 个数.知识要点：1单项式的概念：数或字母的积，这样的代数式叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式2单项式的系数和次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.单独一个
15、非零的数，规定它的次数为 0.3. 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式4多项式的有关概念多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项7多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数5整式的定义：单项式和多项式统称为整式温馨提示：1.用字母表示数要点：（1）字母与字母相乘，乘号一般省略不写，字母的排列顺序一般按字母表的顺序如ab 写成 ab；（2）数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，当数是带分数时,一定要化为假分数如 a3 要写成 3a，不要写为 a3； m 要写为 m，不要写成130m；31（3）带括号的式子与字母的地位相同如 a（ b2）可写
16、为 a（ b2），也可以写成（ b2） a；（ 3）2 可写为 2（ 3），但不要写成（ 3）2；（4）含字母的除法中，一般不用除号，而改为分数线如与的商一般写为 ，而不写yxxy；（5）和或差关系，又带单位的代数式要用括号括起来后再写上单位如气温从 t下降 6后是（ t6），不要写为 t62.与单项式有关的注意事项：（1）确定一个单项式的系数，要注意包括它前面的性质符号（2）看上去只含有字母因式的单项式，其系数是 1 或 ，1 往往省略不写.（3）计算单项式的次数时，应注意是所有字母指数的和，不要漏掉字母指数是 1 的指数（4）单项式的次数只和字母的指数有关，与系数的指数无关3.与多项式有关
17、的注意事项：（1）多项式中的每一项要包括它前面的符号.（2）“次项式”，用大写“一、二、三”表示.方法技巧：1.本节概念性的东西较多，熟记概念是做好题目的保证.2.与图形有关的规律探索问题，往往先从最简单的前 1 至 3 个入手，找到它们共同的规律（规律一般是与图形的序号有关的式子）,然后将要解决的复杂图形的问题，代入到前面发现的规律中，得到问题的解.答案:1. B 解 析 :先 求 出 这 15个 人 的 总 成 绩 10x+584=10x+420,再 除 以 15可 求 得 平 均 值 为 .10425x2. D 解析 :因为商品每件 a 元,按进价提高 30%出售,则售价为(1+30%)
18、 a =1.3a 元,商品以7 折销售时售价为 1.3a70% =0.91a 元.3. D 解析：该单项式的因数是-2 3，即-8，所以该单项式的系数是-8字母 x、 y 的指数分别是 1 和 3，指数和是 4，所以该单项式的次数是 44. B 解析：由题意得，所有字母的指数和为 7，即 m+2=7，则 m=55.解析：根据四次单项式的定义， x2y2， x3y， xy3等都符合题意（答案不唯一）6.解析：3 a 表示 3 与 a 相乘,是单项式,系数为 3,次数为 1；xy2表示 与 xy2相乘,是单项式,系数为 ,次数为 3；12 12 128 表示 与 xy 相乘，是单项式,系数为 ,次
19、数为 2；5xy4 54 54表示 与 a 相乘,是单项式,系数为 ,次数为 1；a 1 1 x 表示-1 与 x 相乘,是单 项式，系数为-1,次数为 1；(a+1)表示 a 与 1 的和的 倍,含有加法运算,不是单项式13 3表示 1 与 x 的商,不是单项式1x7.C 解析：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此六次多项式中，次数最高的项是六次的，其余项的次数可以是六次的，也可以是小于六次的，却不能是大于六次的因此六次多项式中的任何一项都是不大于六次的8.2015 解析： .224013()0132015aa9.解析：根据条件，有 m2-1+2=5，且 m+20.所以 m
20、=2.10. 4n2 解析：第 1 个图案中阴影小三角形的个数是 2；第 2 个图案中阴影小三角形的个数是 6=2+41；第三个图案中阴影小三角形的个数是 10=2+42；第 4 个图案中阴影小三角形的个数是 14=2+43；，所以第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 2+4（ n1）=4 n2.11. n(n+1)2 或 n2+n+2 解析：根据图形可知：第一个图形中阴影部分小正方形个数为 422122,第二个图形中阴影部分小正方形个数为 862232,第三个图形中阴影部分小正方形个数为 14122342,所以第 n 个图形中阴影部分小正方形个数为 n(n+1)2 或 n2+n+2.12.（
21、1）64 8 15 （2） 2(1)1解析：（1）观察所给数阵可知，每行最右侧的数是该行序号的平方.每一行数字的个数是每行的序号乘以 2 减去 1.所以第 8 行的最后一个数是自然数 8 的平方，即 82=64，共有 28-1=15 个数；（2）第 n1 行的最后一个数为 ，所以第 n 行的第一个数是 ，2()n2(1)n最后一个数为 ，第 n 行共有 2n1 个数.2整式陷阱面面观整式是单项式和多项式的统称.其中单项式是数字因数和字母因数的乘积形式，单独的一个数字也是单项式；多项式是几个单项式和的形式，它的很多概念都和单项式息息相关.正确把握整式及其相关概念，有助于我们学好整式运算.但同时，
22、这些概念 的把握不准，极有可能掉进一个个的陷阱.陷阱一：单项式的系数9错例：1.单项式 的系数是 2. 2.单项式 的系数都是 0.2r23xyab、点拨：单项式的系数指的是单项式的数字因数，而不是数字，尤其这个数字因数以分数或科学记数法的形式出现或有常数 时易出现错误.因此判断单项式系数时，关键在于正确分离单项式的因数成分.正解：1.单项式 的系数是 . 2.单项式 的系数分别是 1 和-1.2r23xyab、陷阱二：单项式的次数错例：1.单项式 次数是 2 次. 2. 是五次单项式.2xy2点拨：单项式的次数指的是所有字母指数的和，而不是 部分指数的和，特别是当字母没有指数时，应理解为指数
23、为 1，而不是 0；但同时，因为单项式次数，只和字母指数有关，因此在判断 单项式次数时，也并非“见指数就相加”.正解：1.单项式 次数是 3 次. 2. 是三次单项式.2xy2ab陷阱三：多项式的项、项数错例：多项式 有 5 项构成，他们分别是 .221x22 3 1xx、 、 、 、点拨：我们知道，几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每一个单项式称作该多项式的项，其中不含有字母的项叫做常数项.因此，多项式中的项必须带有“前边的符号”.而判断多项式的项数的前提是必须把多项式化为最简，即要把多项式合并.正解：多项式 有 3 项构成，他们分别是 .2231xx2 1x、 、陷阱四：多项式的次数错
24、例：多项式 是六次四项式.3254点拨：多项式的次数指的是多项式中最高次数项的次数.不要理解为多项式中所有项的次数之和.所以判断多项式次数时，应该逐项判断构成多项式的每一项的次数，然后找到最高次数项的次数，而不是将她们相加.正解：多项式 是三次四项式.3254x陷阱五：同类项错例：. 不是同类项. 2. 不是同类项. 3. -y和22-35yxz和是同类项.2-3ab和点拨：同类项是整式加减运算的基础，它的概念是：含有相同字母，并且相同字母的指10数也相同的项.它和字母的先后顺序，项的系数及次数没有任何关系. 正解：. 是同类项. 2. 是同类项. 3. 3-xy和 2-35yxz和不是同类项.2-ab和
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