2019高中数学第1章导数及其应用1.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修2_2.doc

1、11.3.3 导数的实际应用1学会解决实际问题的基本方法，注意首先通过分析、思考、总结、联想，建立问题涉及的变量之间的函数关系式，然后根据实际意义确定定义域2学会利用导数求解实际问题，感受导数在解决实际问题中的作用求实际问题中的最值的主要步骤(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 y f(x)；(2)求函数的导数 f (x)，解方程_；(3)比较函数在区间_和使 f (x)0 的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f

2、(x)0 的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间【做一做 11】内接于半径为 R 的半圆的周长最大的矩形的边长为( )A 和 R B R 和 RR2 32 55 455C R 和 R D以上都不对45 75【做一做 12】面积为 S 的所有矩形中，其周长最小的是_如何求解实际应用题？剖析：解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识

3、对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使 f (x)0 的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值这里所说的也适用于开区间或无穷区间2题型一 利用导数求实际问题的最

4、小值【例题 1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层k3x 5建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值反思：解答一道应用题重点要过三关：事理关(需要读懂题意，知道讲的是什

5、么事件)；文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系)；数理关(要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，进而借助数学知识进行解答)对于这类问题，往往因忽视了数学语言和普通语言的转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍题型二 利用导数求实际问题的最大值【例题 2】如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r，短半轴长为 r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记CD2 x，梯形面积为 S.(1)求面积 S 以 x 为自变量的函数关系式，并写出其定义域；(

6、2)求面积 S 的最大值分析：建立坐标系，求出椭圆方程，表示出梯形的面积，应用导数求最值反思：本题的关键是建立直角坐标系，得到椭圆方程 1( y0)，进而得到梯x2r2 y24r2形面积 S2( x r) .利用导数法解决实际问题，当遇到在定义区间内只有一个点r2 x2使 f (x)0 的情形时，若函数在这一点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值题型三 易错辨析易错点：在运用导数解决实际问题的过程中，常常因为忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建模，在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解【例题 3】某厂生产

7、一种机器，其固定成本(即固定投入)为 0.5 万元但每生产 100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25 万元市场对此产品的年需求量为 500 台，销售收入(单位：万元)函数为 R(x)5 x x2(0 x5)，其中 x 是产品售出的数量(单位：12百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：(1) y R(x) C(x) (0.50.25 x) x2 x (0 x5)12 194 12(2)y x ，令 y 0，得 x 4.75，4.75 必为最大值点194 194年产量为 475 台时，工厂利润最大31 将 8 分为两数之和，使其立方之和为最小

8、，则分法为( )A2 和 6 B4 和 4C3 和 5 D以上都不对2 用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A6 cm B8 cmC10 cm D12 cm3 某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有砖只够砌 20 m 长的墙壁，则应围成长为_ m，宽为_ m 的长方形才能使小屋面积最大4 做一个容积为 256 的方底无盖水箱，当它的高为_时，最省材料答案：基础知识梳理(2)f (x)0 (3)端点【做一做 11】B 设矩形的一边长为 x，则另一边长为

9、2 ，周长 l2 x4R2 x2(0 x R)， l 2 ，令 l0，得 x1 R， x2 R(舍去)，当R2 x24xR2 x2 55 550 x R 时， l0；当 R x R 时， l0，所以当 x R 时， l 取最大值，即矩55 55 55形周长最大时边长为 R 和 R.55 455【做一做 12】以 为边长的正方形 设矩形的一边长为 x，则另一边长为 ，周长SSxf(x)2 ， f (x)2 ，令 f (x)0，得 x ，易知当 x 时， f(x)有极(xSx) (1 Sx2) S S小值，也就是最小值典型例题领悟【例题 1】解：(1)设隔热层厚度为 xcm，由题设，每年能源消耗费

10、用为 C(x) ，又 C(0)8， k40，因此 C(x) ，而建造费用 C1(x)6 x，从而隔热层k3x 5 403x 5建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20 C(x) C1(x)20 6 x 6 x (0 x10)403x 5 8003x 5(2)f (x)6 ，令 f (x)0，即 6，得2 400 3x 5 2 2 400 3x 5 2x15， x2 (舍去)，当 0 x5 时， f (x)0，当 5 x10 时， f (x)0，故 5253是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)65 70，即当隔热层修建 5 cm 厚时，80015 5总费用达到最小值 70

11、 万元【例题 2】解：(1)依题意，以 AB 所在的直线为 x 轴， AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系(如图所示)，则点 C 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标 y 满足方程 1( y0)，即x2r2 y24r2y2 (0 x r)r2 x24S (2x2 r)2 2( x r) ，12 r2 x2 r2 x2其定义域为 x|0 x r(2)记 f(x)4( x r)2(r2 x2)，0 x r，则 f (x)8( x r)2(r2 x)令 f (x)0，得 x r.12因为当 0 x 时， f (x)0；r2当 x r 时， f (x)0，r2所以 f( r)是 f(x)的最大值12因此

12、，当 x r 时， S 也取得最大值，最大值为 r2.12 f 12r 332故梯形面积 S 的最大值为 r2.332【例题 3】错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在 500 台之内(含 500台)，应有 x5 的情况，错解忽视了此种情况，就出现了错误正解：(1)利润 y R(x) C(x)Error! Error!(2)0 x5 时， y x24.75 x0.5，12当 x4.75 时， ymax10.78(万元)；当 x5 时， y120.25 x120.25510.75(万元)年产量是 475 台时，工厂所得利润最大随堂练习巩固1B 设其中一个数为 x，则另一个数为 8 x，

13、 y x3(8 x)3，0 x8， y 3 x23(8 x)2，令 y 0 即 3x23(8 x)20，得 x4.当 0 x4时， y 0；当 4 x8 时， y 0.所以当 x4 时， y 最小2B 设截去的小正方形的边长为 x cm，铁盒的容积为 V cm3，由题意，得V x(482 x)2(0 x24)， V12(24 x)(8 x)令 V0，则在区间(0,24)内有解 x8，故当 x8 时， V 有最大值310 5 设长为 x m，宽为 y m，则x2 y20， y10 .S xy x 10 x ， S10 x，x2 (10 x2) x22令 S0，得 x10， x10， y5.544 设方底无盖水箱的底面边长为 a，高为 h，则 V a2h256，即 h .用料最256a2省，即表面积最小 S 表 S 底 S 侧 a24 ah a24 a a2 .S2 a .令256a2 1 024a 1 024a2S0，得 2a 0，解得 a8，此时 h 4.1 024a2 25664