1、1第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析分段函数、指数函数性质T 122018 卷 对数的运算T132017 卷 已知零点求参数值T 12卷幂、指数、对数函数大小比较T 82016卷利用幂函数的性质比较大小T 71.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第 511 题的位置，有时难度较大2.函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难.基本初等函数授课提示：对应学生用书第 7 页悟通方法结论1利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数相同、指数不同的
2、幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较2对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解全练快速解答1(2017高考全国卷)设 x， y， z 为正数，且 2x3 y5 z，则( )A2 x1，因为 ， ，所以 ，所以 b0,0cb解析：法一：因为 0log2 ，排除 A； 排除12 12 12 12C； 41 和 01 时，两函数在定义域内都为增函数；当 00 和 0 时， f(x)ln x
3、 x1，则函数 g(x) f(x)e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A0 B1C2 D3解析：当 x0 时， f(x)ln x x1， f( x) 1 ，所以1x 1 xxx(0,1)时， f( x)0，此时 f(x)单调递增； x(1，)时， f( x)0 时， f(x)max f(1)ln 1110.根据函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数作出函数 y f(x)与 ye x的大致图象，如图所示，观察到函数 y f(x)与 ye x的图象有两个交点，所以函数 g(x) f(x)e x(e为自然对数的底数)有 2 个零点. 答案：C(2)(2017高考全国卷)已知函数 f(x)
4、 x22 x a(ex1 e x1 )有唯一零点，则a( )A B12 13C D112解析：法一： f(x) x22 x a(ex1 e x1 )( x1) 2 aex1 e ( x1) 1，令 t x1，则 g(t) f(t1)t 2 a(ete t )1. g(t)(t) 2 a(et e t)1 g(t)，函数 g(t)为偶函数 f(x)有唯一零点， g(t)也有唯一零点又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)0，2 a10，解得 a .12故选 C.法二： f(x)0 a(ex1 e x1 ) x22 x.ex1 e x1 2 2，ex 1e x 1当且仅当 x1 时取“”
5、x22 x( x1) 211，当且仅当 x1 时取“” 若 a0，则 a(ex1 e x1 )2 a，要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a1，则 a .125若 a0，则 f(x)的零点不唯一故选 C.答案：C(3)(2018高考全国卷)已知函数 (x)Error! g(x) (x) x a.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是( )A1,0) B0，)C1，) D1，)解析：令 h(x) x a，则 g(x) (x) h(x)在同一坐标系中画出 y (x)， y h(x)图象的示意图，如图所示若 g(x)存在 2 个零点，则 y (x)的图象与 y h(x)的图象有 2个交点
6、，平移 y h(x)的图象，可知当直线 y x a 过点(0,1)时，有 2 个交点，此时 10 a， a1.当 y x a 在 y x1 上方，即 a1 时，仅有 1 个交点，不符合题意当 y x a 在 y x1 下方，即 a1 时，有 2 个交点，符合题意综上， a 的取值范围为1，)故选 C.答案：C【类题通法】1判断函数零点个数的 3 种方法2利用函数零点的情况求参数值(或范围)的 3 种方法练通即学即用1(2018福州质检)已知 f(x)Error!，若函数 g(x) f(x) k 有两个零点，则两零点所在的区间为( )A(，0) B(0,1)6C(1,2) D(1，)解析：在平面
7、直角坐标系内作出函数 f(x)的图象如图所示，由图易得若函数 g(x) f(x) k 有两个零点，即函数 f(x)的图象与直线 y k 有两个交点，则 k 的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2和(2，)内，故选 D.答案：D2(2018洛阳名校联考)若函数 f(x)满足 f(x1) ，当 x1,0时， f(x)1fx 1 x，若在区间1,1)上， g(x) f(x) mx m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是_解析：因为当 x1,0时， f(x) x，所以当 x(0,1)时，x1(1,0)，由 f(x1) 可得， x1 ，所以 f(x)1fx 1 1fx 11，作出函数 f(x
8、)在1,1)上的图象如图所示，因为 g(x) f(x)1x 1 mx m 有两个零点，所以 y f(x)的图象与直线 y mx m 有两个交点，由图可得m(0， 12答案：(0， 12函数的实际应用授课提示：对应学生用书第 9 页悟通方法结论解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答(2018湖北七市(州)联
9、考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 P(毫克/升)与时间 t(小时)的关系为 P P0e kt.如果在前 5 小时消除了710%的污染物，那么污染物减少 19%需要花费的时间为_小时解析：前 5 小时污染物消除了 10%，此时污染物剩下 90% ，即 t5 时， P0.9 P0，代入，得(e k)50.9，e k ， P P0e kt P0( )t.当污染物减少 19%时，污染物剩下 81%，此时 P0.81 P0，代入得 0.81( )t，解得 t10，即需要花费 10 小时答案：10【类题通法】应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序： 读 题
10、文 字 语 言 建 模数 学 语 言 求 解数 学 应 用 反 馈检 验 作 答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答练通即学即用1(2018保定二模)李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为 L 甲 5 x2900 x16 000， L 乙 300 x2 000(其中 x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了 110 辆，则能获得的最大利润为( )A11 000 元 B22 000 元C33 000 元 D40 000 元解析：设甲连锁店销售 x 辆，则乙连锁店销售(110 x)辆，故利润
11、L5 x2900 x16 000300(110 x)2 0005 x2600 x15 0005( x60) 233 000，当 x60 时，有最大利润 33 000 元答案：C2衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为 a，经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为： V ae kt.已知新丸经过 50 天后，体积变为 a.若一个49新丸体积变为 a，则需经过的天数为( )827A125 B100C75 D50解析：由已知，得 a ae50 k，e k .49 (49)150设经过 t1天后，一个新丸体积变为 a，827则 a ae kt1，8278 (e k)t182
12、7 ， t175.t150 32答案：C授课提示：对应学生用书第 109 页一、选择题1函数 y ax2 1( a0 且 a1)的图象恒过的点是( )A(0,0) B(0，1)C(2,0) D(2，1)解析：令 x20，得 x2，所以当 x2 时， y a010，所以y ax2 1( a0 且 a1)的图象恒过点(2,0)答案：C2设 alog 3 2， bln 2， c5 ，则( )12A cba B abcC acb D bac解析：因为 eac.故选 D.1512答案：D3(2018长郡中学模拟)下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是( )A f(x)sin x B f(x) x3
13、1C f(x)log 2( x) D f(x)x2 11 2x1 2x解析：依题意，对于选项 A，注意到 f(0) f()，因此函数 f(x)sin x 在其定义域上不是增函数；对于选项 B，注意到 f(x)的定义域为 R，但 f(0)10，因此函数 f(x) x31 不是奇函数；对于选项 C，注意到 f(x)的定义域是 R，且 f( x)log 2( x)x2 1log 2 log 2( x) f(x)，因此 f(x)是奇函数，且 f(x)在 R 上是增1x2 1 x x2 1函数；对于选项 D，注意到 f(x) 1 在 R 上是减函数故选 C.1 2x1 2x 21 2x9答案：C4函数
14、f(x)|log 2 x| x2 的零点个数为( )A1 B2C3 D4解析：函数 f(x)|log 2 x| x2 的零点个数，就是方程|log2 x| x20 的根的个数令 h(x)|log 2 x|， g(x)2 x，画出两函数的图象，如图由图象得 h(x)与 g(x)有 2 个交点，方程|log 2 x| x20 的解的个数为 2.答案：B5(2018河南适应性测试)函数 y ax a(a0， a1)的图象可能是( )解析：由函数 y ax a(a0， a1)的图象过点(1,0)，得选项 A、B、D 一定不可能；C 中 00 且 a1.故 a 的取值范围是(0,1)(1，). 故选 C
15、.答案：C10(2018高考全国卷)设 alog 0.20.3， blog 2 0.3，则( )A a b ab0 B ab a b0C a b0 ab D ab0 a b解析： alog 0.20.3log 0.210， blog 20.3log 210， ab0. log 0.30.2log 0.32log 0.30.4，a bab 1a 1b1log 0.30.3log 0.30.4log 0.310，0 1， ab a b0.a bab故选 B.答案：B11若函数 f(x)Error!的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数 a 的取值范围是( )A B (1，e)(0，1e) (0
16、， 1e)C(1，) D(0,1)(1，)解析：若函数 f(x)的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则函数 y ax a， x0的图象与 y xln x 的图象有且只有两个交点，函数 y ax a， x0 的图象与函数11y xln x 的图象均过点(1,0)当 01 时，函数 y xln x 的导数 y1.故当 a0 或 a1 时，函数 y ax a， x0 的图象与函数 y xln x 的图象有且只有一个交点，所以使得y ax a， x0 的图象与函数 y xln x 的图象有且只有两个交点的实数 a 的取值范围是(0,1)(1，)故选 D.答案：D12如图，有四个平面图形分别是三角形、平
17、行四边形、直角梯形、圆，垂直于 x 轴的直线 l： xt(0t a)经过原点 O 向右平行移动， l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y(图中阴影部分)若函数 y f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )解析：选项 A，B，D， l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反选项 C，后面是直线增加，不满足题意答案：C二、填空题13(2018高考全国卷)已知函数 (x)log 2(x2 a)若 (3)1，则a_.解析： (x)log 2(x2 a)且 (3)1，1log 2(9 a)，9 a2， a7.答案：714若幂函数 y( m23 m3)
18、 x(m2)( m1) 的图象不经过原点，则实数 m 的值为_解析：由Error!解得 m1 或 2，经检验 m1 或 2 都适合答案：1 或 215若函数 y |1 x| m 的图象与 x 轴有公共点，则实数 m 的取值范围是(12)_解析：|1 x|0，0 |1 x|1，(12)由题意得 0 m1，即1 m0.答案：1,0)16某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/(100 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表：12时间 t(单位：天) 60 100 180种植成本 Q(单位：元/(100 kg) 116 84 116根据上表数据，
19、从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系： Q at b， Q at2 bt c， Q abt， Q alogb t.利用你选取的函数，求得：西红柿种植成本最低时的上市天数是_；最低种植成本是_元/(100 kg)解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当 t60 和 t180 时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数 Q a(t120) 2 m 描述将表中两组数据(60,116)和(100,84)代入，可得Error! 解得Error!所以 Q0.01(t120) 280.故当上市天数为 120 时，种植成本取到最低值 80 元/(100 kg)答案：120 80
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