2019高考数学一轮复习第十四章坐标系与参数方程练习文.doc

1、1第十四章 坐标系与参数方程考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.坐标系1.了解坐标系的作用及直角坐标系内的伸缩变换2.了解极坐标的概念,会在极坐标系中刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标之间的互相转化3.能在极坐标系中求简单图形的极坐标方程2017课标全国,22;2017课标全国,22;2016课标全国,23;2015课标,23解答题 2.参数方程1.了解参数方程和参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程3.理解直线参数方程中参数的几何意义,并能用参数方程解决相关的问题2017课标全国,22;2016课标全国,23;2016课标全国,23;201

2、5课标,232014课标,23填空题、分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考部分,其中极坐标与直角坐标的互化,直线与圆的参数方程及应用是高考的重点,难度不大,题型一般为解答题,分值为10分,但部分省份可能以填空题的形式出现.本章也是对前面所学的解析几何、平面几何、三角函数等知识的综合应用和进一步的深化,考查学生的转化与化归思想的应用.2(1)消去参数t得l 1的普通方程l 1:y=k(x-2);消去参数m得l 2的普通方程l 2:y= (x+2).设P(x,y),由题设得1=(-2),=1(+2).消去k得x 2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x 2-y2=4(y0).(2)C的极坐标

3、方程为 2(cos2-sin 2)=4(00),M的极坐标为( 1,)( 10).由题设知|OP|=,|OM|= 1= .4cos由|OM|OP|=16得C 2的极坐标方程为=4cos (0).因此C 2的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为( B,)( B0).由题设知|OA|=2, B=4cos ,于是OAB的面积S= |OA| BsinAOB12=4cos |sin(-3)|=2 2+ .|sin(2-3)- 32| 3当=- 时,S取得最大值2+ .12 3所以OAB面积的最大值为2+ .34.(2016课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方

4、程在直角坐标系xOy中,曲线C 1的参数方程为 (t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极=cos,=1+sin轴的极坐标系中,曲线C 2:=4cos .(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为= 0,其中 0满足tan 0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.解析 (1)消去参数t得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)将x=cos ,y=sin 代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为 2-2sin +1-a 2=0.(4分)(2)曲线C 1,C

5、2的公共点的极坐标满足方程组(6分)2-2sin+1-2=0,=4cos. 若0,由方程组得16cos 2-8sin cos +1-a 2=0,(8分)由已知tan =2,可得16cos 2-8sin cos =0,从而1-a 2=0,4解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)5.(2013辽宁,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 1,直线C 2的极坐标方程分别为=4sin ,cos =2 .(-4) 2(1)求C 1与C 2交点的极坐标;(2)设P为C 1

6、的圆心,Q为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为 (tR为参数),求a,b的值.=3+,=23+1解析 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2+(y-2)2=4,直线C 2的直角坐标方程为x+y-4=0.解 2+(-2)2=4,+-4=0 得 1=0,1=4,2=2,2=2.所以C 1与C 2交点的极坐标为 , .(6分)(4,2) (22,4)(注:极坐标系下点的表示不唯一.)(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y= x- +1,2 2所以2=1,-2+1=2,解得a=-1,b=2.(1

7、0分)考点二 参数方程1.(2014湖南,12,5分)在平面直角坐标系中,曲线C: (t为参数)的普通方程为 .=2+ 22,=1+ 22答案 x-y-1=02.(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数),直线l的参数方=3cos,=sin程为 (t为参数).=+4,=1-(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;5(2)若C上的点到l距离的最大值为 ,求a.17解析 (1)曲线C的普通方程为 +y2=1.29当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由 解得 或+4-3=0,29+2=1 =3,=0 =-2125,=2425. 从而C与l的交点

8、坐标为(3,0), .(-2125,2425)(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d= .|3cos+4sin-4|17当a-4时,d的最大值为 ,+917由题设得 = ,+917 17所以a=8;当a2,所以圆C 2与直线l相离.2所以圆C 2上的点M到直线l的距离的最大值为d+r=5 +2,最小值为d-r=5 -2.2 24.(2017山西太原模拟,22)设直线l的参数方程为 (t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox轴=2+,=2 为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为= .8cos2(1)将曲线C

9、的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.解析 (1)由= 得sin 2=8cos ,8cos2 2sin2=8cos ,y 2=8x,曲线C表示顶点在原点,焦点在x轴正半轴的抛物线.(2)由 (t为参数)得y=2x-4,代入y 2=8x,得x 2-=2+,=2 6x+4=0,设A(x 1,y1),B(x2,y2),则x 1+x2=6,x1x2=4,|AB|= |x1-1+2x2|= = =10.5 (1+2)2-412 5 20考点二 参数方程5.(2018山西康杰中学等六校12月联考,22)在直角坐标系xOy中,已知点P(0, )

10、,曲线C的参数方程为3(为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos= 5cos,= 15sin= .(-6) 311(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|PB|的值.解析 (1)由2cos = 得(-6) 3cos +sin = ,即 x+y- =0.3 3 3 3由 (为参数)得 + =1.= 5cos,= 15sin 25 215所以曲线C的普通方程为 + =1,直线l的直角坐标方程为 x+y- =0.25 215 3 3(2)由(1)知:直线l的倾斜角为 ,所以直线l的参数方程为 (t为

11、参数),23 =-12,= 3+ 32代入曲线C的普通方程可得t 2+2t-8=0.设方程的两根为t 1,t2,则|PA|PB|=|t 1t2|=8.6.(2018河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C 1的参数方程为 (t参数,mR),以原点O为极点,=,=+x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为 2= (0).33-22(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知点P是曲线C 2上一点,若点P到曲线C 1的最小距离为2 ,求m的值.2解析 (1)由曲线C 1的参数方程消去参数t,可得C 1的普通方程为x-y+m=0.由曲线C 2的极坐标

12、方程得3 2-2 2cos2=3,0,曲线C 2的直角坐标方程为 +y2=1(0y1).23(2)设曲线C 2上任意一点P( cos ,sin ),0,3则点P到曲线C 1的距离d= = .| 3cos-sin+|2 |2cos(+6)+|20,cos ,(+6) -1, 322cos -2, ,(+6) 3当m+ 0时,m-2=4,即m=6.m=-4- 或m=6.3127.(2017安徽黄山二模,22)已知曲线C的极坐标方程为= ,过点P(1,0)的直线l交曲线C于A,B两点.21+2(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求|PA|PB|的取值范围.解析 (1)由= 得 2(1+

13、sin2)=2,故曲线C的直角坐标方程为 +y2=1.21+2 22(2)由题意知,直线l的参数方程为 (t为参数),将 代入 +y2=1得=1+cos,=sin =1+cos,=sin 22(cos2+2sin 2)t 2+2tcos -1=0,设A,B对应的参数分别为t 1,t2,则t 1t2= ,-12+22则|PA|PB|=|t 1t2|= = ,12+2211+2 12,1|PA|PB|的取值范围为 .12,18.(2017广东广州联考,22)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为 (t为参数,0),曲线C的极坐标方程为c

14、os 2=4sin .=sin,=1+cos(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当变化时,求|AB|的最小值.解析 (1)由 (t为参数)消去t得xcos -ysin +sin =0.=sin,=1+cos所以直线l的普通方程为xcos -ysin +sin =0,由cos 2=4sin 得(cos ) 2=4sin ,把x=cos ,y=sin 代入上式,得x 2=4y,所以曲线C的直角坐标方程为x 2=4y.(2)将直线l的参数方程代入x 2=4y,得t 2sin2-4tcos -4=0,设A,B两点对应的参数分别为t 1,t2,则t 1

15、+t2= ,t1t2=- ,4cos242所以|AB|=|t 1-t2|= = = ,(1+2)2-412 1624 + 162 420,当= 时,|AB| 取最小值4.2139.(2016辽宁五校协作体联考,23)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原=-3,= 3点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 2-4cos =0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围.解析 (1)直线l的参数方程为 (t为参数),=-3,= 3将t=x+3代入y= t,得直线l的普通方程

16、为 x-y+3 =0.3 3 3曲线C的极坐标方程为 2-4cos =0,将x=cos , 2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4.(2)设点P(2+2cos ,2sin ),R,则d= = ,| 3(2+2cos)-2sin+33|2 |4cos(+6)+53|2R,d的取值范围是 .53-42 ,53+42 B组 20162018年模拟提升题组(满分:40分 时间:40分钟)解答题(每小题10分,共50分)1.(2018河南百校联盟12月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C 1的参数方程为 (t为参数).以=+ 22,=2- 22原点O为极点,x轴的正

17、半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 2:=2 sin .2 (+4)(1)求曲线C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程;(2)设P(k,2k),若曲线C 1与C 2只有一个公共点Q(Q与P不重合),求|PQ|.解析 (1)由 (t为参数)消去参数t得曲线C 1的普通方程为x+y-3k=0.=+ 22,=2- 22由=2 sin 可得 2=2sin +2cos ,2 (+4)由 2=x2+y2,cos =x,sin =y得C 2的直角坐标方程为x 2+y2-2x-2y=0.(2)曲线C 1为直线,曲线C 2表示以C 2(1,1)为圆心, 为半径的圆,214若曲线C 1与C 2只有一个公共点Q,则

18、圆心C 2(1,1)到直线x+y-3k=0的距离为 ,2即 = ,解得k=0或k= .|1+1-3|2 2 43当k=0时,P,Q重合于点(0,0),不满足题意,舍去.当k= 时,P的坐标为 ,易知点P在直线C 1上,|PC 2|= = .43 (43,83) (43-1)2+(83-1)2 263所以|PQ|= = .|2|2-22232.(2017豫北名校联盟联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数).=4cos,=2sin(1)求曲线C的普通方程;(2)经过点M(2,1)(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A,B两点,若M恰好为线段AB的三等分点,求

19、直线l的斜率.解析 (1)由曲线C的参数方程得 (为参数),cos=4,sin=2所以曲线C的普通方程为 + =1.21624(2)设直线l的倾斜角为 1,则直线l的参数方程为 (t为参数).=2+cos 1,=1+sin 1代入曲线C的普通方程,得(cos 2 1+4sin2 1)t2+(4cos 1+8sin 1)t-8=0,设A,B对应的参数分别为t 1,t2,所以1+2=-4cos 1+8sin 121+421,12= -821+421. 由题意可知t 1=-2t2.所以12sin 2 1+16sin 1cos 1+3cos2 1=0,即12tan 2 1+16tan 1+3=0.解得

20、tan 1= .-4 76所以直线l的斜率为 .-4 76153.(2017河北衡水中学二调,22)已知直线l: (t为参数),曲线C 1: (为参数).=1+12,= 32 =cos,=sin(1)设l与C 1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的 ,纵坐标压缩为原来的 ,得到曲线C 2,设点P是曲线C 2上的一个动12 32点,求它到直线l的距离的最小值.解析 (1)l的普通方程为y= (x-1),C1的普通方程为x 2+y2=1,3联立得方程组 解得 或 所以l与C 1的交点为A(1,0),B ,= 3(-1),2+2=1, =1,=0 =12,=-

21、 32. (12,- 32)所以|AB|= =1.(- 32-0)2+(12-1)2(2)由题意知C 2的参数方程为 (为参数),=12cos,= 32sin所以点P的坐标是 ,从而点P到直线l的距离d= = ,(12cos, 32sin) |32cos- 32sin- 3|2 34 2sin(-4)+2因此当sin =-1时,d取得最小值且最小值为 ( -1).(-4) 64 24.(2016广东肇庆三模,23)在直角坐标系xOy中,曲线C 1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴=2,=正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为 2+2cos -4=0. (1)把C 1

22、的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(0,02).解析 (1)由曲线C 1的参数方程为 (t为参数),可得C 1的普通方程为y 2=x,=2,=将 代入上式整理得sin 2=cos ,=cos,=sin即C 1的极坐标方程为sin 2-cos =0.(2)将曲线C 2的极坐标方程 2+2cos -4=0化为直角坐标方程为x 2+y2+2x-4=0,将y 2=x代入上式得x 2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),当x=1时,y=1,所以C 1与C 2交点的平面直角坐标为A(1,1),B(1,-1),16 A= = , B= = ,tan A=1,tan B=-1

23、,0,02, A= , B= .1+1 2 1+1 24 74故C 1与C 2交点的极坐标为 , .(2,4) ( 2,74)C组 20162018年模拟方法题组方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018湖北八校12月联考,22)已知曲线C的极坐标方程为 2= ,以极点为平面直角坐标系的原点92+92,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的普通方程;(2)A,B为曲线C上两点,若OAOB,求 + 的值.1|21|2解析 (1)由 2= 得 2cos2+9 2sin2=9,92+92将x=cos ,y=sin 代入得曲线C的普通方程是 +y2=1.29(2)因为 2

24、= ,所以 = +sin2,92+92 1229设A( 1,),由OAOB知B点的坐标可设为 ,(2,2)所以 + = + = +sin2+ +cos2= +1= .1|21|212112229 29 19 1092.(2017四川广安等四市一模,22)在平面直角坐标系中,曲线C 1: (为参数)经过伸缩变换=3+3cos,=2sin 后的曲线为C 2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.=3,=2(1)求C 2的极坐标方程;(2)设曲线C 3的极坐标方程为sin =1,且曲线C 3与曲线C 2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.(6-)解析 (1)由题意得曲线C 2的参数方程为 (

25、 为参数),=1+cos,=sin 则曲线C 2的直角坐标方程为(x-1) 2+y2=1,所以曲线C 2的极坐标方程为=2cos .(2)由(1)知曲线C 2是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,易知曲线C 3的直角坐标方程为x- y-2=0,表示直线,317所以曲线C 2的圆心(1,0)到直线C 3的距离d= = ,所以|PQ|=2 = .|1- 30-2|1+3 12 12-(12)2 33.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C 1的参数方程为 其中为参数,曲线C 2:x2+y2-= 2cos,=sin, 2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l

26、:=(0)与曲线C 1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C 1,C2的极坐标方程;(2)当0 时,求|OA| 2+|OB|2的取值范围.2解析 (1)C 1的普通方程为 +y2=1,22C1的极坐标方程为 2cos2+2 2sin2-2=0,C2的极坐标方程为=2sin .(2)联立=(0)与C 1的极坐标方程得|OA| 2= ,21+2联立=(0)与C 2的极坐标方程得|OB| 2=4sin2,则|OA| 2+|OB|2= +4sin2= +4(1+sin2)-4.21+221+2令t=1+sin 2,则|OA| 2+|OB|2= +4t-4,2当0 时,t(1,2).2设

27、f(t)= +4t-4,2易得f(t)在(1,2)上单调递增,|OA| 2+|OB|2(2,5).方法2 参数方程与普通方程的互化方法4.(2017江西南昌十校二模,22)已知曲线C的极坐标方程是=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为 (t为参数). =12,=2+ 3(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换 得到曲线C,过点F( ,0)作倾斜角为60的直线交曲线C于A,B两点,求|FA|=,=12 3|FB|.解析 (1)直线l的普通方程为2 x-y+2=0,318曲线C的直角坐标方程为x 2+y2=4.(2)=,=1

28、2,C的直角坐标方程为 +y2=1.24易知直线AB的参数方程为 (t为参数).= 3+12,= 32 将直线AB的参数方程代入 +y2=1,24得 t2+ t-1=0,134 3则t 1t2=- ,413|FA|FB|=|t 1t2|= .413方法3 与参数方程有关问题的求解方法5.(2018四川成都七中一诊,22)已知曲线C: (为参数)和定点A(0, ),F1、F 2是此曲线的左、右焦=2cos,= 3sin 3点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线AF 2的极坐标方程;(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点,求|MF 1|-|NF1|的值.解析 (1) 可化为 + =1,表示椭圆,焦点为F 1(-1,0)和F 2(1,0).=2cos,= 3sin 24 23经过A(0, )和F 2(1,0)的直线方程为x+ =1,即 x+y- =0,33 3 3极坐标方程为 cos +sin = .3 3(2)由(1)知,直线AF 2的斜率为- ,3因为lAF 2,所以l的斜率为 ,33l的倾斜角为30,l的参数方程为 (t为参数),=-1+ 32,=12 将其代入椭圆C的直角坐标方程,整理得13t 2-12 t-36=0.3M,N在点F 1的两侧,|MF 1|-|NF1|=|t1+t2|= .12313