1、1第六讲 导数的应用（二）1(2018山西八校联考)已知函数 f(x) x1 aln x(aR)， g(x) .1x(1)当 a2 时，求曲线 y f(x)在 x1 处的切线方程；(2)若 a0， f(x)在(0,1上单调递增，易知 g(x)ax 在(0,1上单调递减，1x不妨设 x1， x2(0,1，且 x1g(x2)， f(x2) f(x1)f(x2) .4x1 4x2令 h(x) f(x) ，则当 x1h(x2)， h(x)在(0,1上单调递减，4x h( x)1 0 在(0,1上恒成立，ax 4x2 x2 ax 4x2 x2 ax40 在(0,1上恒成立，等价于 a x 在(0,1上恒
2、成立，4x只需 a( x )max.4x y x 在(0,1上单调递增， ymax3，3 a0.1 xax(1)求 a的取值范围；(2)若 b0，试证明 0，2所以 ax10，即 x ，1a所以 1，即 a1.1a故 a的取值范围为1，)(2)证明：因为 b0， a1，所以 1，a bb又 f(x) ln x在(1，)上是增函数，1 xax所以 f f(l)，即 ln 0，(a bb )1 a bbaa bb a bb化简得 .12解析：(1)由已知得， f(x) x(ln x x)，当 x1 时， f(x)1，f( x)ln x12 x，当 x1 时， f( x)1，所以所求切线方程为y1(
3、 x1)，即 x y0.(2)证明：由已知条件可得 f( x)ln x12 ax有两个不同的零点，且两零点的左、右两侧附近的函数值符号相反，令 f( x) h(x), 则 h( x) 2 a(x0)，1x若 a0，则 h( x)0， h(x)单调递增， f( x)不可能有两个零点；若 a0，3令 h( x)0 得 x ，可知 h(x)在(0， )上单调递增，在( ，)上单调递减，12a 12a 12a令 f( )0，解得 0 ， f( )2ln a1 0，所以 0f(1) a .124(2018南宁二中、柳州一中联考)已知函数 f(x)ln x ax2(2 a)x.(1)讨论 f(x)的单调性
4、；(2)设 f(x)的两个零点分别是 x1， x2，求证： f( ) 0，则 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0时，若 x(0， )，则 f( x)0，若 x( ，)，则 f( x)0，且 f(x)在(0， )上单调递增，在( ，)上单调递减，不1a 1a妨设 0 x1 x2 ，故要证 f( ) 即x1 x22 x1 x22 1a 2a x1 x22 2a可构造函数 F(x) f(x) f( x)， x(0， )，2a 1a4F( x) f( x) f( x) f( x) f( x) 2a 2a 2ax ax 2 2x 2 ax，2 ax 1 2x 2 ax x(0， )， F( x) 0， F(x)在(0， )上单调递增，1a 2 ax 1 2x 2 ax 1a F(x) x1， x1 x2 ，得证.2a 1a 2a 2a
