2019高考数学二轮复习专题三数列第一讲等差数列、等比数列教案理.doc

1、1第一讲 等差数列、等比数列年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养卷 等差数列的基本运算T 42018 卷 等比数列的基本运算及应用T17卷 等差数列的基本运算T 4数学文化中的等比数列应用T3卷等差数列与裂项求和T 15等差数列与等比数列的运算T92017卷等比数列的基本运算T 14等差数列的基本运算T 32016 卷 等比数列的运算及二次函数最值问题T 15命题分析(1)高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用(2)若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置

2、上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注学科素养主要是通过等差数列、等比数列的判定与证明及基本运算考查逻辑推理与数学运算两大核心素养.等差数列、等比数列的基本运算2授课提示：对应学生用书第28页悟通方法结论两组求和公式(1)等差数列： Sn na1 d；na1 an2 nn 12(2)等比数列： Sn (q1)a11 qn1 q a1 anq1 q全练快速解答1(2018高考全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n项和，若3 S3 S2 S4， a12，则 a5( )A12 B10C10 D12解析：设等差数

3、列 an的公差为 d，由3 S3 S2 S4，得3 2 a1 d4 a1 d，将 a123a133 12 d 22 12 44 12代入上式，解得 d3，故 a5 a1(51) d24(3)10.故选B.答案：B2(2017高考全国卷)等差数列 an的首项为1，公差不为0.若 a2， a3， a6成等比数列，则 an前6项的和为( )A24 B3C3 D8解析：设等差数列 an的公差为 d，因为 a2， a3， a6成等比数列，所以 a2a6 a ，即( a123 d)(a15 d)( a12 d)2，又 a11，所以 d22 d0，又 d0，则 d2，所以 a6 a15 d9，所以 an前6

4、项的和 S6 624，故选A.1 92答案：A3(2018天津模拟)已知等比数列 an的前 n项和为 Sn，且8 a2a4 a3a6，则 _S3a4_.解析：由8 a2a4 a3a6可得8 a a3a6，故 a68 a3，设公比为 q，则 q38， q2，故 23S3a43 .a11 q q2a1q3 78答案：784(2018高考全国卷)等比数列 an中， a11， a54 a3.(1)求 an的通项公式；(2)记 Sn为 an的前 n项和若 Sm63，求 m.解析：(1)设 an的公比为 q，由题设得 an qn1 .由已知得 q44 q2，解得 q0(舍去)， q2或 q2.故 an(2

5、) n1 或 an2 n1 .(2)若 an(2) n1 ，则 Sn .1 2n3由 Sm63得(2) m188，此方程没有正整数解若 an2 n1 ，则 Sn2 n1.由 Sm63得2 m64，解得 m6.综上， m6.在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1和d(或 q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量等差数列、等比数列的性质授课提示：对应学生用书第29页悟通方法结论1等差数列、等比数列常用性质：等差数列 等比数列性质(1)若 m， n， p， qN *，且 m n p q，则 am an ap aq；(2)an am( n

6、m)d；(3)Sm， S2m Sm， S3m S2m，仍成(1)若 m， n， p， qN *，且 m n p q，则 aman apaq；(2)an amqn m；(3)Sm， S2m Sm， S3m S2m，仍成等比数列( Sm4等差数列 0)2.等差数列中利用中项求和(1)若 n为奇数，则 Sn na .n 12(2)若 n为偶数，则 Sn (a a 1)n2 n2 n23在等差数列中，当项数为偶数2 n时，有 S偶 S奇 nd， ；当项数为奇数2S偶S奇 an 1ann1时，有 S奇 S偶 an， .S偶S奇 n 1n4在等比数列中，当项数为偶数2 n时， q.S偶S奇全练快速解答1(

7、2018南宁模拟)等差数列 an中， a3 a76，则 an的前9项和等于( )A18 B27C18 D27解析：由等差数列的性质，得 a1 a9 a3 a76，所以数列 an的前9项和 S9 27，故选B.9a1 a92 962答案：B2(2016高考全国卷)已知等差数列 an前9项的和为27， a108，则 a100( )A100 B99C98 D97解析：法一： an是等差数列，设其公差为 d， S9 (a1 a9)9 a527， a53.92又 a108，Error!Error! a100 a199d199198.法二： an是等差数列， S9 (a1 a9)9 a527， a53.9

8、2在等差数列 an中， a5， a10， a15， a100成等差数列，且公差d a10 a5835.故 a1003(201)598.故选C.答案：C3(2018长沙模拟)等比数列 an中， a56，则数列log 6an的前9项和的值为( 5)A6 B9C12 D16解析：因为 a56，所以log 6a1log 6a2log 6a9log 6(a1a2a9)log 6a 959log669.答案：B4(2018河北三市联考)已知 Sn是等差数列 an的前 n项和，若 S55 a410，则数列an的公差为_解析：由 S55 a410，得5 a35 a410，则公差d2.答案：2等差(比)数列性质

9、应用策略解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.等差数列、等比数列的判定与证明授课提示：对应学生用书第29页悟通方法结论1证明数列 an是等差数列的两种基本方法：(1)利用定义，证明 an1 an(nN *)为一常数；(2)利用等差中项性质，即证明2 an an1 an1 (n2)2证明 an是等比数列的两种基本方法：(1)利用定义，证明 (nN *)为一常数；an 1an(2)利用等比中项性质，即证明 a an1 an1 (n2， an0)2n(2018高考全国卷)(12分)已知数列 an满足 a11，设 bn .ann6(1)求

10、；(2) ，并说明理由；(3) 学审题条件信息 想到方法 注意什么由信息 nan1 2( n1)an 递推关系变形 an1 an2n 1n由信息求 b1、 b2、 b3 想到先求 a1、 a2、 a3，再求 b1、 b2、 b3由信息判断 bn是否为等比数列 由等比数列的定义推断 常数bn 1bn由信息求 an 先求 bn，再求 an判断 bn为等比数列时要紧扣定义去推断规范解答 (1)由条件可得 an1 an.2n 1n(2分 )将 n1代入得， a24 a1，而 a11，所以 a24.将 n2代入得， a33 a2，所以 a312. (4分)从而 b11， b22， b34. (6分)(2

11、)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得 ，即 bn1 2 bn， (8分)an 1n 1 2ann又 b11，所以 bn是首项为1，公比为2的等比数列(10分)(3)由(2)可得 2 n1 ，ann所以 an n2n1 . (12分)1判定一个数列是等差(比)数列，可以利用通项公式或前 n项和公式，但不能将其作为证明方法2(1) q和 a an1 an1 (n2)都是数列 an为等比数列的必要不充分条件，判an 1an 2n定时还要看各项是否为零(2)学科素养：利用定义判定或证明数列问题重要体现了数学抽象逻辑推理与数学运算7学科素养能力练通即学即用(2018贵州适应性考试)已知数列 a

12、n满足 a11，且 nan1 ( n1) an2 n22 n.(1)求 a2， a3；(2)证明数列 是等差数列，并求 an的通项公式ann解析：(1)由已知得 a22 a14，则 a22 a14，又 a11，所以 a26.由2 a33 a212得2 a3123 a2，所以 a315.(2)证明：由已知 nan1 ( n1) an2 n(n1)，得 2，即 nan 1 n 1annn 1 an 1n 1 ann2，所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列ann则 12( n1)2 n1，所以 an2 n2 n.ann授课提示：对应学生用书第129页一、选择题1(2018开封模拟)已知等差数列

13、an的前 n项和为 Sn，且 a1 a510， S416，则数列 an的公差为( )A1 B2C3 D4解析：设等差数列 an的公差为 d，因为 S4 2( a1 a5d)2(10 d)164a1 a42，所以 d2，故选B.答案：B2(2018重庆模拟)在数列 an中， an1 an2， a25，则 an的前4项和为( )A9 B22C24 D328解析：依题意得，数列 an是公差为2的等差数列， a1 a223，因此数列 an的前4项和等于43 224，选C.432答案：C3(2018益阳、湘潭联考)已知等比数列 an中， a53， a4a745，则 的值为a7 a9a5 a7( )A3

14、B5C9 D25解析：设等比数列 an的公比为 q，则 a4a7 a5q29 q45，所以 q5， a5q a7 a9a5 a7 q225.故选D.a5q2 a7q2a5 a7答案：D4(2018洛阳模拟)在等差数列 an中，若 Sn为前 n项和，2 a7 a85，则 S11的值是( )A55 B11C50 D60解析：设等差数列 an的公差为 d，由2 a7 a85，得2( a6 d) a62 d5，得 a65，所以 S1111 a655，故选A.答案：A5(2018昆明模拟)已知等差数列 an的公差为2，且 a4是 a2与 a8的等比中项，则 an的通项公式 an( )A2 n B2 nC

15、2 n1 D2 n1解析：由题意，得 a2a8 a ，又 an a12( n1)，所以( a12)( a114)( a16) 2，24解得 a12，所以 an2 n.故选B.答案：B6(2018长沙中学模拟)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a4 a12 a88， a10a64，则 S23( )A23 B96C224 D276解析：设等差数列 an的公差为 d，依题意得 a4 a12 a82 a8 a8 a88， a10 a64d4， d1， a8 a17 d a178， a11， S23231 1276，选D.23222答案：D97(2018长春模拟)等差数列 an中，已知| a6

16、| a11|，且公差 d0，则其前 n项和取最小值时 n的值为( )A6 B7C8 D9解析：由 d0可得等差数列 an是递增数列，又| a6| a11|，所以 a6 a11，即 a15 d a110 d，所以 a1 ，则 a8 0， a9 0，所以前8项和为前 n项和的最小15d2 d2 d2值，故选C.答案：C8(2018惠州模拟)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 a9 a126， a24，则数12列 的前10项和为( )1SnA. B.1112 1011C. D.910 89解析：设等差数列 an的公差为 d，由 a9 a126及等差数列的通项公式得 a15 d1212，又 a

17、24， a12， d2， Sn n2 n， ， 1Sn 1nn 1 1n 1n 1 1S1 1S2 1S10(1 )( )( )1 .选B.12 12 13 110 111 111 1011答案：B9一个等差数列的前20项的和为354，前20项中偶数项的和与奇数项的和之比为3227，则该数列的公差 d( )A1 B3C5 D7解析：法一：设等差数列的首项为 a1，由题意可得Error!法二：由已知条件，得Error!，解得Error!，又 S偶 S奇 10 d，所以 d 3.192 16210答案：B10(2018惠州模拟)设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a62 a3，则 ( )S1

18、1S5A. B.115 52210C. D.1110 225解析： .故选D.S11S5112a1 a1152a1 a5 11a65a3 225答案：D11已知数列 an的前 n项和 Sn an2 bn(a， bR)，且 S25100，则 a12 a14( )A16 B8C4 D不确定解析：由数列 an的前 n项和 Sn an2 bn(a， bR)，可得数列 an是等差数列， S25100，解得 a1 a258，所以 a12 a14 a1 a258.a1 a25252答案：B12等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 a10，若存在自然数 m3，使得 am Sm，则当 n m时， Sn与 an

19、的大小关系是( )A Sn an B Sn anC Sn an D大小不能确定解析：若 a10，存在自然数 m3，使得 am Sm，则 d0.因为 d0时，数列是递减数列，则 Sm am，不存在 am Sm.由于 a10， d0，当 m3时，有 am Sm，因此 am0， Sm0，又 Sn Sm am1 an，显然 Sn an.答案：C二、填空题13(2018南宁模拟)在等比数列 an中， a2a616， a4 a88，则 _.a20a10解析：法一：设等比数列 an的公比为 q，由 a2a616得 a q616， a1q34.由 a421a88，得 a1q3(1 q4)8，即1 q42， q

20、21.于是 q101.a20a10法二：由等比数列的性质，得 a a2a616， a44，又 a4 a88，Error!或Err24or!. a a4a80，Error!则公比 q满足 q41， q21， q101.26a20a1011答案：114(2018合肥模拟)已知数列 an中， a12，且 4( an1 an)(nN *)，则其a2n 1an前9项和 S9_.解析：由已知，得 a 4 anan1 4 a ，2n 1 2n即 a 4 anan1 4 a ( an1 2 an)20，2n 1 2n所以 an1 2 an，所以数列 an是首项为2，公比为2的等比数列，故 S9 2 1021

21、022.21 291 2答案：1 02215若等比数列 an的各项均为正数，且 a10a11 a9a122e 5，则ln a1ln a2ln a20_.解析：因为 a10a11 a9a122 a10a112e 5，所以 a10a11e 5.所以ln a1ln a2ln a20ln( a1a2a20)ln( a1a20)(a2a19)(a10a11)ln( a10a11)1010ln( a10a11)10ln e 550ln e50.答案：5016(2017高考北京卷)若等差数列 an和等比数列 bn满足 a1 b11， a4 b48，则 _.a2b2解析：设等差数列 an的公差为 d，等比数列

22、 bn的公比为 q，则由 a4 a13 d，得 d 3，a4 a13 8 13由 b4 b1q3得 q3 8， q2.b4b1 8 1 1.a2b2 a1 db1q 1 3 1 2答案：1三、解答题17(2018南京模拟)已知数列 an的前 n项和 Sn2 n1 2，记 bn anSn(nN *)(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 bn的前 n项和T n.解析：(1) Sn2 n1 2，当 n1时， a1 S12 11 22；当 n2时， an Sn Sn1 2 n1 2 n2 n.12又 a122 1， an2 n.(2)由(1)知， bn anSn24 n2 n1 ，T n b1

23、b2 b3 bn2(4 14 24 34 n)(2 22 32 n1 )2 4n 12 n2 .41 4n1 4 41 2n1 2 23 4318(2018贵阳模拟)设等比数列 an的前 n项和为 Sn，公比 q0， a1 a24， a3 a26.(1)求数列 an的通项公式；(2)若对任意的 nN *， kan， Sn，1都成等差数列，求实数 k的值解析：(1) a1 a24， a3 a26，Error! q0， q3， a11. an13 n1 3 n1 ，故数列 an的通项公式为 an3 n1 .(2)由(1)知 an3 n1 ， Sn ，11 3n1 3 3n 12 kan， Sn，1

24、成等差数列，2 Sn kan1，即2 k3n1 1，解得 k3.3n 1219(2018成都模拟)已知数列 an满足 a12， an1 2 an4.(1)证明：数列 an4是等比数列；(2)求数列| an|的前 n项和 Sn.解析：(1)证明： a12， a142. an1 2 an4， an1 42 an82( an4)， 2，an 1 4an 4 an4是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1) ，可知 an42 n， an2 n4.当 n1时， a120， S1| a1|2；当 n2时， an0. Sn a1 a2 an2(2 24)(2 n4)22 22 n4( n1)4( n1)

25、2 n1 4 n2.又当 n1时，上式也满足21 2n1 2当 nN *时， Sn2 n1 4 n2.20(2018南宁柳州联考)已知 a12， a24，数列 bn满足： bn1 2 bn2且 an1 an bn.(1)求证：数列 bn2是等比数列；13(2)求数列 an的通项公式解析：(1)证明：由题知， 2，bn 1 2bn 2 2bn 2 2bn 2 b1 a2 a1422， b124，数列 bn2是以4为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)可得， bn242 n1 ，故 bn2 n1 2. an1 an bn， a2 a1 b1，a3 a2 b2，a4 a3 b3，an an1 bn1 .累加得， an a1 b1 b2 b3 bn1 (n2)，an2(2 22)(2 32)(2 42)(2 n2)2 2( n1)221 2n 11 22 n1 2 n，故 an2 n1 2 n(n2) a122 11 21，数列 an的通项公式为 an2 n1 2 n(nN *)