1、1第二讲 不等式选讲考点一 含绝对值不等式的解法1| ax b| c,| ax b| c 型不等式的解法(1)若 c0,则| ax b| c c ax b c,| ax b| cax b c 或 ax b c,然后根据 a, b 的取值求解即可;(2)若 c0)型不等式的解法(1)零点分段讨论法(2)绝对值的几何意义(3)数形结合法2解 (1)当 a1 时, f(x)| x1| x1|,即 f(x)Error!故不等式 f(x)1 的解集为Error!.(2)当 x(0,1)时| x1| ax1| x 成立等价于当 x(0,1)时| ax1|0 时,则| ax1| x f(x)恒成立,知| x
2、1| x a|2 恒成立,即(| x1| x a|)min2.而| x1| x a|( x1)( x a)|1 a|,所以|1 a|2,解得 a1 或 aa 恒成立 f(x)mina.(3)f(x)a 有解 f(x)maxa.对点训练1角度 1(2018山东淄博模拟)设函数 f(x)| x4|.(1)若 y f(2x a) f(2x a)的最小值为 4,求 a 的值;(2)求不等式 f(x)1 x 的解集12解 (1)因为 f(x)| x4|,所以 y f(2x a) f(2x a)|2 x a4|2 x a4|2 x a4(2 x a4)|2 a|,又 y f(2x a) f(2x a)的最
3、小值为 4,|2 a|4, a2.(2)f(x)| x4|Error!不等式 f(x)1 x 等价于12Error!解得 x2 或 x1 x 的解集为 x|x2 或 x0, b0, c0,且 abc1.(1)证明:(1 a)(1 b)(1 c)8;(2)证明: .a b c1a 1b 1c证明 (1)1 a2 ,1 b2 ,1 c2 ,a b c(1 a)(1 b)(1 c)2 2 2 8 ,a b c abc abc1,(1 a)(1 b)(1 c)8.(2) ab bc2 2 ,ab2c bab ac2 2 ,a2bc abc ac2 2 ,abc2 c上面三式相加得,2ab2 bc2 c
4、a2 2 2 ,a b c即 ab bc ca .a b c又 ab bc ac,1a 1b 1c .a b c1a 1b 1c81(2017全国卷)已知函数 f(x) x2 ax4, g(x)| x1| x1|.(1)当 a1 时,求不等式 f(x) g(x)的解集;(2)若不等式 f(x) g(x)的解集包含1,1,求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时,不等式 f(x) g(x)等价于 x2 x| x1| x1|40.当 x1 时,式化为 x2 x40,从而 14;(2)若 x ,不等式 a14Error!或Error!或Error!x1.不等式 f(x)4 的解集为(,2)(0,)(
5、2)由(1)知,当 x ,32 52 a1 ,即 a .52 32实数 a 的取值范围为 .( ,322(2018河南新乡二模)已知函数 f(x)| x4| x1|3.(1)求不等式 f(x)2 的解集;(2)若直线 y kx2 与函数 f(x)的图象有公共点,求 k 的取值范围解 (1)由 f(x)2,得Error!或Error!或Error! 解得 0 x5,故不等式 f(x)2 的解集为0,5(2)f(x)| x4| x1|3Error!作出函数 f(x)的图象,如图所示,11易知直线 y kx2 过定点 C(0,2),当此直线经过点 B(4,0)时, k ;12当此直线与直线 AD 平
6、行时, k2.故由图可知, k(,2) .12, )3(2018大庆二模)已知 f(x)| x3| x1|, g(x) x22 mx.(1)求不等式 f(x)4 的解集;(2)若对任意的 x1, x2, f(x1) g(x2)恒成立,求 m 的取值范围解 (1)解法一:不等式 f(x)4 即| x3| x1|4.可得Error!或Error!或Error!解得 x1,所以不等式的解集为 x|x1解法二:| x3| x1| x3( x1)|4,当且仅当( x3)( x1)0,即3 x1 时,等号成立所以不等式的解集为 x|x1(2)依题意可知 f(x)min g(x)max,由(1)知 f(x)
7、min4,因为 g(x) x22 mx( x m)2 m2,所以 g(x)max m2.由 m24 得 m 的取值范围是2 m2.4(2018西安一模)设 a、 b 为正实数,且 2 .1a 1b 2(1)求 a2 b2的最小值;12(2)若( a b)24( ab)3,求 ab 的值解 (1)由 2 2 得 ab ,21a 1b 1ab 12当 a b 时取等号22故 a2 b22 ab1,当 a b 时取等号22所以 a2 b2的最小值是 1.(2)由 2 可得 a b2 ab,1a 1b 2 2( a b)2( a b)24 ab8 a2b24 ab4( ab)3,( ab)22 ab10,即( ab1) 20, ab10,即 ab1.
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