2019高考数学二轮复习第4讲导数的简单应用专题突破文.doc

1、1第 4 讲 导数的简单应用1.【引全国卷】2015全国卷 已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= . 【荐地方卷】2016山东卷 若函数 y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质 .下列函数中具有 T 性质的是 ( )A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3试做_ 命题角度 曲线的切线问题(1)解决曲线的切线问题:关键一,搞清楚是在某点处的切线,还是过某点的切线;关键二,利用导数的几何意义求出曲线在该点处的切线的斜率;关键三,关注切点的双重性,

2、即切点既在切线上,也在曲线上 .(2)直线与曲线有一个公共点不能说明直线与曲线相切,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线有一个公共点 .2.(1)2016全国卷 若函数 f(x)=x- sin 2x+asin x 在( - ,+ )单调递增,则 a 的取值范围是 ( )A.-1,1 B. -1,C. - , D. -1,-(2)2014全国卷 若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1, + )上单调递增,则 k 的取值范围是( )A.(- ,-2 B.(- ,-1C.2,+ ) D.1,+ )试做_2_ 命题角度 利用导数解决函数单调性问题(1)利用导数解决函数单调性问题:关键一,

3、对函数求导;关键二,令 f(x)0,f(x) 0 时,y=f(x)有 2 个极值 .(2)(特殊值法)取特殊值,例如 f(x)=x3+x2+x+1.小题 1 导数的几何意义1 (1)曲线 y=x+ln x 在点 M(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 ( ) A. B. C. D.(2)已知函数 f(x)=ex-x2的图像在点(1, f(1)处的切线过点(0, a),则 a= . 听课笔记 3_【考场点拨】应用导数的几何意义解题时应注意:(1) f(x0)与 f(x0)的区别与联系, f(x0)表示函数f(x)在 x=x0时的函数值,是一个常数, f(x0)表示导函数 f(x)在 x

4、=x0处的函数值;(2)函数在某点的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率;(3)注意切点既在原函数的图像上也在切线上这一条件的应用 .【自我检测】1.若曲线 y= 的一条切线经过点(4,0),则此切线的斜率为 ( )A. B.3C.3 D.42.已知曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线方程是 y=-3x+4,则 f(2)+f(2)的值为 ( )A.5 B.-5C.3 D.-33.设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,若曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0, ,则点 P 横坐标的取值范围为 ( )A. -1,- B.-1,0C.0,1 D. ,14.设函数 f(x)=g(

5、x)+x2,若曲线 y=g(x)在点(1, g(1)处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为 . 小题 2 与导数有关的函数图像问题2 (1)函数 f(x)=-x (x -,)的图像大致是 ( )A B C D图 M1-4-1(2)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则函数y=xf(x)的图像可能是 ( )4A B C D图 M1-4-2听课笔记 _【考场点拨】高考中与导数有关的函数图像问题的关注点:(1)与函数图像相关的问题,常利用导数的几何意义、单调性、极值点等知识去解决,一般是利用排

6、除法解决 .(2)导函数在某个区间 D 上有 f(x)0 恒成立,则导函数的图像在区间 D 上恒在 x 轴的上方;导函数在某个区间 D 上有 f(x)2f(2) D.f(1)+f(3)2 f(2)(2)若 f(x)= x3-ax2+x 在( - ,+ )上不是单调函数,则 a 的取值范围是 . 听课笔记 _【考场点拨】高考中利用导数研究函数单调性的关注点:常见题型有以下三种:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求 f(x)0,f(x)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(b)g(a)4.若函数 f(x)=2x2-ln

7、 x 在区间( k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,则实数 k 的取值范围为 . 小题 4 利用导数研究函数的极值、最值4 若关于 x 的不等式 6 -4x 在(0, + )上恒成立,则实数 m 的取值范围是 ( )A. - ,2 B. - ,2C. 2 ,+ D. 2 ,+听课笔记 _【考场点拨】高考中求极值、最值的易失分点:(1)对于含参数函数的极值、最值问题,要注意分类讨论思想的应用 .注意导函数的零点不一定是极值点 .(2)在闭区间上图像连续的函数一定存在最大值和最小值,在不是闭区间的情况下,函数在这个区间上的最大值和最小值可能都存在,也可能只存在一个,也可能既无最大值也无最小值;

8、在一个区间上,如果函数只有一个极值点,那么这个极值点就是最值点 .【自我检测】1.函数 f(x)=ex+e-x(e 为自然对数的底数)在(0, + )上 ( )A.有极大值 B.有极小值C.是增函数 D.是减函数2.若函数 f(x)=x3-3x 在( a,6-a2上有极小值,则实数 a 的取值范围是 ( )7A.(- ,1) B.- ,1)C.-2,1) D.(-2,1)3.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1 处取得极值 10,则 a= ( )A.4 或 -3 B.4 或 -11C.4 D.-34.已知函数 g(x)=a-x2 xe,e 为自然对数的底数 与 h(x)=2l

9、n x 的图像上存在关于 x轴对称的点,则实数 a 的取值范围是 ( )A. 1, +2 B.1,e2-2C. +2,e2-2 D.e2-2,+ )5.已知函数 f(x)=ln x+2ex2,g(x)=x3+kx(kR),若函数 y=f(x)-g(x)只有 1 个零点,则函数g(x)在0,e上的最大值为 ( )A.0 B.e3+1C.2e3+ D.2e3+18第 4 讲 导数的简单应用典型真题研析1.【引全国卷】8 解析 对函数 y=x+ln x 求导得 y=1+ ,函数图像在点(1,1)处的切线的斜率 k=y|x=1=2,所以在点(1,1)处的切线方程为 y=2x-1,又该切线也为函数 y=

10、ax2+(a+2)x+1 的切线,所以由得 ax2+ax+2=0,此方程应有唯一解,所以 =a 2-8a=0,得 a=8 或a=0(舍) .【荐地方卷】A 解析 由函数图像上两点处的切线互相垂直可知,函数在两点处的导数之积为 -1.对于A,y=(sin x)=cos x,存在 x1,x2使 cos x1cos x2=-1.2.(1)C (2)D 解析 (1)方法一:对函数 f(x)求导得 f(x)=1- cos 2x+acos x=-cos2x+acos x+ ,因为函数 f(x)在 R 上单调递增,所以 f(x)0,即 - cos2x+acos x+ 0恒成立 .设 t=cos x -1,1

11、,则 g(t)=4t2-3at-50 在 -1,1上恒成立,所以有解得 - a .方法二:取 a=-1,则 f(x)=x- sin 2x-sin x,f(x)=1- cos 2x-cos x,但 f(0)=1- -1=- 0,由题可知 f(x)0,即得 kx-10,得 x (k0,又 f(x)连续, x0R, f(x0)=0,A 正确 .通过平移变换,函数可以化为 f(x)=x3+c,从而函数 y=f(x)的图像是中心对称图形,B 正确 .若x0是 f(x)的极小值点,可能还有极大值点 x1,若 x10 时, f(x)=ecos x(xsin x-1),令 ecos x(xsin x-1)=0

12、,可得 xsin x=1,当 x= 时, sin = 1,所以 xsin x=1 的一个根 x1落在 , 内,并且 x(0, x1)时, f(x)1,当 x= 时,sin =00,f(x)是增函数, x( x2,)时, f(x)-2 时, f(x)0,从而当 x0,当 -20 时, y=xf(x)0,结合选项可知只有 C 符合题意,故选 C.【自我检测】101.D 解析 y=-4x3+2x=-2x( x-1)( x+1),易知当 x0 时,函数 y=-x4+x2+2 在 0,上单调递增,在 ,+ 上单调递减,又函数 y=-x4+x2+2 为偶函数,故选 D.2.A 解析 函数 y=f(x)的导

13、函数在区间 a,b上是增函数, 函数 y=f(x)图像的切线斜率越来越大 .A 中函数图像的切线斜率越来越大,满足条件;B 中函数图像的切线斜率越来越小,不满足条件;C 中函数图像的切线斜率是常数,不满足条件;D 中函数图像的切线斜率先越来越大,然后越来越小,不满足条件 .故选 A.3.1 解析 由函数的图像可知, x=2 为函数的极大值点, x=-1 为函数的极小值点,即 2,-1是 f(x)=0 的两个根 .由 f(x)=ax3+bx2+cx+d 得 f(x)=3ax2+2bx+c,由 f(x)=3ax2+2bx+c=0,得 2+(-1)=- =1,-12= =-2,即 c=-6a,2b=

14、-3a,故 f(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-3ax-6a=3a(x-2)(x+1),则 = = =1.小题 3例 3 (1)D (2)(- ,-1)(1, + ) 解析 (1)因为(2 -x)f(x)0,所以当 x2 时,f(x)0,所以 f(1) f(2),当 x2 时, f(x)0,所以 f(3) f(2),则 f(1)+f(3)2 f(2).故选 D.(2)f(x)=x2-2ax+1,由于函数 f(x)= x3-ax2+x 在( - ,+ )上不是单调函数,所以方程 x2-2ax+1=0 有 2 个实数根,可得 = 4a2-40,解得 a1 或 a0,解得 x ,故函数 y=3

15、x2-2ln x 的单调递增区间为 ,+ ,故选 D.2.D 解析 根据题意,函数 f(x)= ax3+x2+ax+1,其导函数 f(x)=ax2+2x+a.若函数 f(x)= ax3+x2+ax+1 有三个不同的单调区间,则 f(x)=ax2+2x+a 有 2 个不同零点,则有 = 4-4a20,且 a0,可得 -1f(b)g(b).故选 C.4. 1, 解析 因为函数 f(x)在( k-1,k+1)上有定义,所以 k-10,得 k1 .又 f(x)=4x- ,令 4x- =0,得 x= 或 x=- (舍去),所以 x= 是函数 f(x)的极值点,又 f(x)在( k-1,k+1)上11不单

16、调,所以 ( k-1,k+1),即 k-10),则 f(x)= = ,x 0, 当 00,f(x)单调递增;当3 时, f(x)0,f(x)单调递增 .故当 x= 时, f(x)取得极大值,也是最大值,即 f(x)max=f = ,m 2 .故选 D.【自我检测】1.C 解析 函数 f(x)的定义域为 R,由 f(x)=ex+e-x得 f(x)=ex-e-x,令 f(x)0,得 x0,故函数 f(x)=ex+e-x(e 为自然对数的底数)在(0, + )上是增函数,无极值点,故选 C.2.B 解析 f(x)=3x2-3,令 f(x)=0,解得 x=1,可以判断当 x=1 时,函数 f(x)取得

17、极小值, 得 a - ,1),故选 B.3.C 解析 f (x)=x3+ax2+bx+a2,f (x)=3x2+2ax+b.由题意得即 解得 或 当 a=-3,b=3 时, f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)20,故函数 f(x)单调递增,无极值,不符合题意 .经检验, a=4,b=-11 时符合题意, a= 4.故选 C.4.B 解析 由已知得,方程 a-x2=-2ln x,即 -a=2ln x-x2在 ,e 上有解 .设 f(x)=2ln x-x2,则 f(x)= -2x= , xe, f (x)在 x=1 处有唯一的极值点,又 f =-2- ,f(e)=2-e2,f(x)极大值 =

18、f(1)=-1,且 f(e)0,所以 +2ex-12x2=k.令 h(x)= +2ex-x2,则 h(x)= +2e-2x= +2(e-x),令 h(x)=0,解得 x=e,故当 x(0,e)时, h(x)0,当 xe 时, h(x)0,故函数 g(x)在0,e上是增函数, g(x)max=g(e)=2e3+1.故选 D.备选理由 例 1 是对极值与三角函数知识交汇的考查,具有一定难度;例 2 也是对极值的考查,但如果按照一般思路解题较麻烦,如果利用特殊值去验证,根据极值的知识,很容易解决;例 3 利用函数的图像研究导函数的图像,需要根据图像得到函数的单调性,进而得到导函数的符号,再结合所给选

19、项可得答案 .例 1 配例 4 使用 设函数 f(x)= +sin x 的所有正的极小值点从小到大排列构成的数列为 xn,则 x1=( )A. B.C. D.解析 D f(x)= +cos x,令 f(x)=0,得 cos x=- ,结合选项,得 x= 或 x= .在 x= 附近,当 x0,当 x 时, f(x) 时, f(x)0,所以 x= 是函数 f(x)的极小值点,符合题意 .所以数列 xn中, x1= .故选 D.例 2 配例 4 使用 已知 aR,若 f(x)= x+ ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点,则a 的取值范围是 ( )A.a0 B.a1C.a1 D.a0解析 A 当

20、 a=0 时, f(x)=xex,f(x)=(1+x)ex0 在(0,1)上恒成立,所以 f(x)在(0,1)上单13调递增,没有极值点,故排除 B,D.当 a=1 时, f(x)= x+ ex,f(x)= 1+x+ - ex=ex,令 g(x)=x3+x2+x-1,则 g(x)=3x2+2x+10 在(0,1)上恒成立,故函数 g(x)在(0,1)上单调递增,又 g(0)=-1,g(1)=2,所以 g(0)g(1)0,所以在(0,1)上, g(x)有且仅有 1个零点,即 f(x)有且仅有 1 个极值点,故 a=1 符合题意,排除 C.故选 A.例 3 配例 2 使用 如果函数 y=f(x)的图像如图所示,那么导函数 y=f(x)的图像可能是( )A B C D解析 A 由函数 y=f(x)的图像可得,函数 y=f(x)在定义域上先增、再减、再增、再减,因此导函数的符号为先正、再负、再正、再负 .结合选项可得,A 符合题意 .