2019高考数学二轮复习第4讲导数的简单应用及定积分专题突破练理.doc

1、1第 4 讲 导数的简单应用及定积分1.(1)2018全国卷 设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( )A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x(2)2018全国卷 曲线 y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为 -2,则 a= . 命题角度 曲线的切线问题关键一:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,即斜率 k=f(x0),切线方程为 y-f(x0)=k(x-x0),其中( x0,f(x0)为曲线 y=f(x)上一点;关键二:关注切点的双重性,即切点既在切线上又在曲线上;(3)2

2、016全国卷 若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则b= . 试做 关键三:搞清楚是在某点处的切线还是过某点的切线 .易错点:直线与曲线有一个公共点,不能说明直线与曲线相切,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线有一个公共点 .2.(1)2017全国卷 若 x=-2 是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为 ( )A.-1 B.-2e-3C.5e-3 D.1(2)2016全国卷 若函数 f(x)=x- sin 2x+asin x 在( - ,+ )单调递增,则 a 的取值范围是 ( )A.-1,1

3、 B. -1,C. - , D. -1,-(3)2018全国卷 已知函数 f(x)=2sin x+sin 2x,则 f(x)的最小值是 . 试做 命题角度 利用导数求函数的单调性或函数的极值与最值(1)f(x)在 x=x0处取得极值的充要条件是 f(x0)=0,且在 x0左侧与右侧 f(x)的符号不同 .(2)若 f(x)在区间( a,b)内是单调函数,则 f(x)在区间( a,b)内一定没有极值 .(3)用导数求最值的步骤:求导令 f(x)=0,求极值点将极值点与区间端点代入求最值 .(4)易错点:在利用导数求函数极值时,很容易出现的错误是求出使导数等于 0 的点,而没有对这些点左右两侧导数

4、的符号进行判断,误以为使导数等于 0 的点就是函数的极值点 .23.2013全国卷 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )A. x0R, f(x0)=0B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形C.若 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间( - ,x0)单调递减D.若 x0是 f(x)的极值点,则 f(x0)=0试做 命题角度 解决三次函数图像和性质问题(1)解决三次函数图像和性质问题,关键一:根据导函数图像画出三次函数的大致图像;关键二:若三次函数 y=f(x)的导函数为 y=ax2+bx+c(a0),令 ax2+bx+c=0,则当 0 时,函数y=f

5、(x)无极值,当 0 时,函数 y=f(x)有两个极值 .(2)(特殊法)取特殊值,例如 f(x)=x3+x2+x+1.小题 1 导数的几何意义与定积分1 (1)已知 aR,设函数 f(x)=ax-ln x 的图像在点(1, f(1)处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的截距为 ( )A.e B.1C.0 D.-1(2)直线 y=4x 与曲线 y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 . 听课笔记 【考场点拨】应用导数的几何意义解题时应注意:(1) f(x)与 f(x0)的区别与联系, f(x0)表示函数f(x)在 x=x0处的导数值,是一个常数;(2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该

6、点处切线的斜率;(3)切点既在原函数的图像上也在切线上 .【自我检测】1. ( ) A. B.1C.2 D.32.过曲线 y=ex上一点 P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在 y 轴上的截距小于 0,则 x0的取值范围是 ( )A.(0,+ ) B.C.(1,+ ) D.(2,+ )3.若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+1 的切线,也是曲线 y=ln(x+2)的切线,则实数 b= 3. 4.曲线 y=ex+sin x 在点(0,1)处的切线方程是 . 小题 2 与导数有关的函数图像问题2 (1)函数 f(x)=(x2-2x)ex的大致图像是 ( )A B C D图 M1-4-1(

7、2)函数 f(x)=ln x- x2的大致图像是 ( )A B C D图 M1-4-2听课笔记 【考场点拨】利用导数判断函数的图像,主要是针对仅通过函数的定义域、值域、奇偶性等性质难以确定函数图像的情况下,通过对函数求导,分析函数的单调性、零点、极值等,充分展现函数图像的变化规律,达到判断函数图像的目的 .【自我检测】1.函数 y= (其中 e 为自然对数的底数)的大致图像是( )A B C D图 M1-4-32.函数 f(x)=xcos x 的导函数 f(x)在区间 -,上的大致图像是 ( )A B C D图 M1-4-4小题 3 利用导数研究函数的单调性3 (1)已知 f(x)=(x2+2

8、ax)ln x- x2-2ax 在(0, + )上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ( )A.1 B.-1C.(0,1 D.-1,0)4(2)已知 a=2.12.2,b=2.22.1,c=log2.22.1,则 ( )A.cb0 时, f(x)在( - ,0)上单调递减B.当 ba0 时, f(x)在( - ,0)上单调递减C.当 a0,f(x)= ,若 f(x)的最小值为 -1,则 a=( )A. B. C.e D.e23.若 x=1 是函数 f(x)=(ex+a)ln x 的极值点,则实数 a= . 6第 4 讲 导数的简单应用及定积分典型真题研析1.(1)D (2)-3 (3)1-ln

9、 2 解析 (1)因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x)对xR 恒成立,可得 a=1,则 f(x)=x3+x,f(x)=3x2+1,所以 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y=x.(2)y=(ax+1+a)ex,由曲线 y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为 -2 可得(1 +a)e0=-2,解得 a=-3.(3)曲线 y=ln x+2 的切线为 y= x+ln x1+1(其中 x1为切点横坐标),曲线 y=ln(x+1)的切线为 y= x+ln(x2+1)- (其中 x2为切点横坐标) .由题可知解得b= ln x1+1=1-ln

10、 2.2.(1)A (2)C (3)- 解析 (1)f(x)=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为 x=-2 是函数 f(x)的极值点,所以 f(-2)=0,所以 4-2(a+2)+a-1=0,解得 a=-1,此时 f(x)=(x2+x-2)ex-1.由f(x)=0,解得 x=-2 或 x=1,且当 -21 时, f(x)0,故 x=1 为 f(x)的极小值点,所以 f(x)的极小值为 f(1)=-1.(2)方法一:对函数 f(x)求导得 f(x)=1- cos 2x+acos x=- cos2x+acos x+ ,因为函数 f(x)在R 上单调递增,所以 f(x)0,即 - cos2x+

11、acos x+ 0 恒成立 .设 t=cos x -1,1,则 g(t)=4t2-3at-50 在 -1,1上恒成立,所以有解得 - a .方法二:取 a=-1,则 f(x)=x- sin 2x-sin x,f(x)=1- cos 2x-cos x,但 f(0)=1- -1=- 0,又 f(x)连续, x0R, f(x0)=0,A 正确 .通过平移变换,函数可以化为 f(x)=x3+c,从而函数 y=f(x)的图像是中心对称图形,B 正确 .若x0是 f(x)的极小值点,可能还有极大值点 x1,若 x11,x 0的取值范围是(1, + ).3.ln 2 解析 设直线 y=kx+b 与曲线 y=

12、ln x+1 和曲线 y=ln(x+2)的切点坐标分别为(x1,ln x1+1),(x2,ln(x2+2). 直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+1 的切线,也是曲线 y=ln(x+2)的切线, = ,即 x1-x2=2.又切线方程为 y-(ln x1+1)= (x-x1)或 y-ln(x2+2)= (x-x2),即为 y= +ln x1或 y= + +ln x1, =0,则 x1=2,b= ln 2.4.2x-y+1=0 解析 y= ex+sin x,y= ex+cos x,8y| x=0=e0+cos 0=2, 曲线 y=ex+sin x 在点(0,1)处的切线方程是 y-1=2x,

13、即 2x-y+1=0.小题 2例 2(1)B (2)A 解析 (1)由 f(x)=0,得 x2-2x=0,即 x=0 或 x=2, 函数 f(x)有两个零点, A,C 不正确 .f(x)=(x2-2)ex,由 f(x)0,解得 x 或 x0),所以当 00,当 x2 时, f(x)ln 1=0,故选 A.【自我检测】1.B 解析 y= ,当 x=0 时, y=0,排除 C,当 x0,当 x3 时, y1 时,ln x0,要使 f(x)0 恒成立,则 x+a0 恒成立,x+a 1+a, 1+a0,解得 a -1;9当 00),则 f(x)= ,可得函数 f(x)在(0,e)内单调递增,所以 f(

14、2.1)0,得 00 时, f(x)-1,所以 x-2.故选 A.4.D 解析 f(x)=(-ax3+3ax2-4b)e-x=-ae-x ,当 b a0),则 h(x)=3x2-6x,所以 h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+ )上单调递增,所以 h(x)的最小值是 h(2)=0,所以 h(x)0,则 f(x)0 在(0, + )上恒成立,所以 f(x)在(0, + )上单调递增,故选 D.小题 4例 4(1)A (2)(2,+ ) 解析 (1)由 f(x)= x2-x+cos(1-x),得 f(x)=x-1+sin(1-x).设 g(x)=x-1+sin(1-x),则 g(x)=1-c

15、os(1-x)0,即 g(x)为增函数,又 g(1)=0,所以当 x( - ,1)时, g(x)0,即 f(x)0,则 f(x)单调递增 .10所以函数 f(x)仅有一个极小值,即为 f(1).故选 A.(2)存在 x1,x2使得 f(x1)0).当 x(0,1)时, g(x)0,函数 g(x)单调递增;当 x(1, + )时, g(x)1,解得 a2,即实数 a 的取值范围是(2, + ).【自我检测】1.D 解析 函数 f(x)=xln x+x2-ax+2 恰有一个零点, 方程 xln x+x2-ax+2=0 在(0, + )上有且只有一个实数根,即 a=ln x+x+ 在(0, + )上

16、有且只有一个实数根 .令 h(x)=ln x+x+ ,则 h(x)= +1- = = (x0).当 01 时, h(x)0,则 h(x)在(1, + )上单调递增 .h (x)min=h(1)=3.由题意可知, a=h(x)min=3.故选 D.2.A 解析 由 f(x)= ,得 f(x)= = .令 g(x)=ex+ax+a,则 g(x)=ex+a0,g (x)在( - ,+ )上为增函数,又 g(-1)= 0, 存在 x0-1,使得 g(x0)=0,即 +ax0+a=0 ,f (x0)=0, 函数 f(x)在( - ,x0)上为减函数,在( x0,+ )上为增函数,则 f(x)的最小值为

17、f(x0)= =-1,即 x0 =- -a.联立 ,可得 x0=-2,代入 ,可得 a= ,故选 A.3.-e 解析 因为 f(x)=exln x+(ex+a) ,且 x=1 是函数 f(x)=(ex+a)ln x 的极值点,所以 f(1)=e+a=0,解得 a=-e.11备选理由 例 1 考查导数的几何意义以及求参;例 2 利用函数的图像研究导函数的图像,需要根据图像得到函数的单调性,进而得到导函数的符号,再结合所给选项可得答案 .例 1 配例 1 使用 直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+bx2+c 相切于点 M(1,2),则 b 的值为 ( )A.-1 B.0C.1 D.2解析 A 由直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+bx2+c 相切于点 M(1,2),得点 M(1,2)满足直线方程 y=kx+1,即 2=k+1k=1,即 y=x+1.由 y=x3+bx2+c,得 y=3x2+2bx,则 y|x=1=3+2b=1,解得 b=-1,故选 A.例 2 配例 2 使用 如果函数 y=f(x)的图像如图所示,那么导函数 y=f(x)的图像可能是 ( )A B C D解析 A 由函数 y=f(x)的图像可得,函数 y=f(x)在定义域上先增、再减、再增、再减,因此导函数的符号为先正、再负、再正、再负 .结合选项可得,A 符合题意 .