2018_2019学年八年级数学下册第一部分基础知识篇第15课图形与证明例题课件（新版）浙教版.ppt

1、重点中学与你有约,例1.如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE/AB，B=DAE.求证：BC=AE.,解题技巧,DE/AB， CAB=ADE,BC=AE.,在ABC和DAE中，,举一反三,思路分析:由垂直的性质就可以得出B=EAD，再根据AAS就可以得出ABCEAD，就可以得出AB=AE,如图，在ABC中，ACB=90，D是AC上的一点，且AD=BC，DEAC于D，EAB=90求证：AB=AE,失误防范,全等三角形的判定： SSS(边边边):三边对应相等的三角形是全等三角形； SAS(边角边):两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形； ASA(角边角):两角及其夹边对应相等的三角形全等；

2、 AAS(角角边):两角及其一角的对边对应相等的三角形全等； HL定理(斜边、直角边):在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等.,例2.如图，在ABC和ADE中，BAC=DAE=90，点B,C,E在同一直线上，AC=AB,AD=AE,且AE与BD交于点F，你能判断出CE与BD的关系吗？请说明理由.,重点中学与你有约,解题技巧,BD=CE，BDCE，理由是： DAE=BAC=90， CAE=BAD，,ACEABD（SAS）， CE=BD，ACE=ABD,在ACE和ABD中，,在RtABC中，ABC+ACE=90， ABD+ABC=90,即CBD=90 , BDCE,举一反三,思路分析:（1）

3、求出BAD=CAE，根据SAS推出ABDACE，根据全等三角形的性质推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出BDA=E，根据E+ADE=90求出BDA+ADE=90即可,如图，在ABC和ADE中，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结BD（1）求证：BD=EC； （2）BD与CE有何位置关系？请证你的猜想,失误防范,全等三角形的性质： 1.全等三角形的对应角相等； 2.全等三角形的对应边相等； 3. 能够完全重合的顶点叫对应顶点； 4.全等三角形的对应边上的高对应相等； 5.全等三角形的对应角的角平分线相等； 6.全等三角形的对应边上的中线相等； 7.全

4、等三角形面积和周长相等； 8.全等三角形的对应角的三角函数值相等.,例3.如图，在ABC中，BAC=108，AB=AC，BD平分BAC，交AC于D.求证：BC=CD+AB.,重点中学与你有约,解题技巧,法1：（截长法）在BC上取点E使BE=BA，连接DE，如图1 BD平分ABC， ABD=EBD，,在ABD和EBD中， AB=EB，ABD=EBD,BD=BD ABDEBD（SAS）， BAC=BED=108，AD=DE，DEC=72，,AB=AC， C=ABC=36，CDE=72， CDE=CED=72，CD=CE， 则BC=BE+EC=AB+CD；,解题技巧,法2：（补短法）延长BA至E，使

5、BE=BC，连接DE，如图2 BD平分ABC， EBD=CBD，,在EBD和CBD中， EB=CB，EBD=CBD,BD=BD EBDCBD（SAS）， DE=DC，E=C=36，,EAD=72， EDA=EAD=72， EA=ED， CD=DE=AE， 则BC=BE=AB+AE=AB+CD,举一反三,思路分析:延长AD、EF交于点G，DE=BD，再根据BDA=EDG，BD=ED，证出ABDGED，得出AB=GE，又因为BAD=DAC，所以FGD=DAC，AF=GF，即可证出AF+EF=AB,在ABC中，已知ABAC，AD平分BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且DE=BD，过E作EFA

6、B交AC的延长线于F 求证：AF+EF=AB.,失误防范,截长补短法： 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想. 截长:1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短:1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起.,例4.已知，点C是线段AB上除点A,B,外的任意一点，分别以AC,BC为边在线段AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN （1）求证：AE=BD； （2）求证：MNAB,重点中学与你有约,解题技巧,（1）ACD和BCE是等边三角形，

7、 AC=DC，CE=CB，DCA=60，ECB=60， DCA=ECB=60， DCA+DCE=ECB+DCE，ACE=DCB， 在ACE与DCB中， AC=DC，ACE=DCB，CE=CB, ACEDCB，AE=BD； （2）由（1）得，ACEDCB，而A、C、B三点共线，DCN=60， 在ACM与DCN中， CAM=NDC, AC=DC，ACM=DCN， ACMDCN，MC=NC， MCN=60，MCN为等边三角形， NMC=MCA=60，MNAB,举一反三,在ABC中，AD是ABC的角平分线 （1）如图1，过C作CEAD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AFAD； （

8、2）如图2，M为BC的中点， 过M作MNAD交AC于点N， 若AB=4，AC=7，求NC的长,举一反三,思路分析:（1）推出3=E，推出AC=AE，根据等腰三角形性质得出AFCE，根据平行线性质推出即可； （2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BFAC交NM延长线于点F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF设CN=x，则BF=x，AE=AN=ACCN=7x，BE=AB+AE=4+7x得出方程4+7x=x求出即可,答案：（1）证明：AD为ABC的角平分线，1=2 CEAD，1=E，2=3E=3AC=AE F为EC的中点，AFEC，ADEC， AFE=FAD=90AFAD （2）解：延长BA与

9、MN延长线于点E，过B作BFAC交NM延长线 于点F，3=C，F=4 M为BC的中点,BM=CM 在BFM和CNM中，3=C，F=4，BM=CM, BFMCNM，BF=CN， MNAD，1=E，2=4=5 E=5=FAE=AN，BE=BF 设CN=x，则BF=x，AE=AN=ACCN=7x，BE=AB+AE=4+7x 4+7x=x解得 x=5.5CN=5.5,失误防范,中考题中与三角形有关的综合题: 类型一：构造法添加辅助线 当题目中的结论在现有图形中难以解决时，我们自然会考虑添加辅助线，而构造全等三角形来转化线段或角是我们常用的方法之一 类型二：在变化的图中探究同一类问题 这类问题往往是方法

10、的延续，而第一问是很容易入手的，因此对比第一问，利用第一问的方法就可以解决后面的问题,例5.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A,B重合），分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点. （1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ； （2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P在线段 BA（或AB）的延长线上时， 此时（2）的结论是否成立？ 请画出图形并给予证明,重点中学与你有约,解题技巧,（1）AEBF,QE=QF， （2）QE=QF， 证明：延

11、长FQ交AE于点D，如图. AECP，BFCP，AEBF，1=2. Q为斜边AB的中点，AQ=BQ， 3=4， AQDBQF，QD=QF. AECP，QE为RtDEF斜边FD上的中线， QE= FD=QF. （3）（2）中结论仍然成立. 理由：如图，延长EQ、FB交于点D， AEBF，1=D，2=3，AQ=BQ， AQEBQD，QE=QD，BFCP， FQ为RtDEF斜边DE上的中线， QF= ED= QE,举一反三,已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F，点O为AC的中点 （1）当点P与点O重合时

12、如图1，求证：OE=OF （2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当点P在对角线AC上时，且OFE=30时，如图2，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？并给予证明 （3）当点P在对角线CA的 延长线上时，且OFE=30 时，如图3，猜想线段CF、 AE、OE之间有怎样的数量 关系？直接写出结论即可,举一反三,思路分析:（1）由AOECOF即可得出结论 （2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明EOAGOC，OFG是等边三角形，即可解决问题 （3）图3中的结论为：CF=OEAE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似,答案：（1）AEPB，CFBP，AEO=

13、CFO=90， 又AOE=COF，AO=OC，AOECOF，OE=OF （2）图2中的结论为：CF=OE+AE 证明如下： 延长EO交CF于点G， AEBP，CFBP，AECF， EAO=GCO，又AO=OC，AEO=COG， EOAGOC，EO=GO，AE=CG， 在RtEFG中，EO=OG，OE=OF=GO， OFE=30，OFG=9030=60， OFG是等边三角形，OF=GF， OE=OF，OE=FG， CF=FG+CG，CF=OE+AE,举一反三,（3）图3中的结论为：CF=OEAE证明如下： 延长EO交FC的延长线于点G， AEBP，CFBP，AECF， AEO=G，又AOE=GO

14、C，AO=OC， AOECOG，OE=OG，AE=CG， 在RtEFG中，OE=OG，OE=OF=OG， OFE=30，OFG=9030=60， OFG是等边三角形，OF=FG， OE=OF，OE=FG， CF=FGCG，CF=OEAE,失误防范,1.涉及中点常用到的定理： 三角形中位线定理；中位线判定定理；直角三角形斜边中线定理；斜边中线判定. 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 2.几何图形综合题： 经常会涉及到全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型,例6.如图，已

15、知四边形ABCD中，ADC=60，ABC=30,AD=CD,求证：BD2=AB2+BC2.,重点中学与你有约,解题技巧,如图，将ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE， ABD=CED，A=ECD，AB=CE，DB=DE， 又ADC=60，BDE=60， DBE为等边三角形，DB=BE， 又ECB=360BCDDCE =360BCDA =360（360ADCABC）=60+30=90， ECB为直角三角形，EC2+BC2=BE2， BD2=AB2+BC2,6.如图，已知四边形ABCD中，ADC=60， ABC=30,AD=CD,求证：BD2=AB2+BC2

16、.,举一反三,如图，在四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC，若AB=5，BC=6，求BD的长（提示：把DCB绕点C顺时针旋转60到ACB，连BB）,思路分析:把DCB绕点C顺时针旋转60到ACB，连BB，由DCBACB，推出BD=AB，再证明ABB是直角三角形，利用勾股定理求出AB即可解决问题,答案：把DCB绕点C顺时针旋转60到ACB，连BB， AD=CD，ADC=60， ADC是等边三角形，DC=AC，ACD=60， ACD=BCB=60，DCB=ACB， DCBACB，BD=AB， BC=CB，BCB=60，BCB是等边三角形， CBB=60，ABC=30， ABB=

17、ABC+CBB=90，BD=AB=,失误防范,1.用旋转法作辅助线证明平面几何题： 旋转法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法. （1）旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件； （2）旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小（三要素：中心、方向、大小）； （3）旋转方法常用于竺腰三角形、等边三角形及正方形等图形中. 2.旋转的性质： 旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,例7.如图，在ABC中，C=90，点M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且

18、AN=MC，AM与BN相交于P，求证：BPM=45.,重点中学与你有约,解题技巧,如图，过M作MEAN，使ME=AN，连NE，BE， 则四边形AMEN为平行四边形， NE=AM，MEBC，1=2， ME=AN=CM，EMB=MCA=90，BM=AC， BEMAMC，得BE=AM=NE，3=4， 1+3=90， 2+4=90即BEN=90，而BE=NE， BEN为等腰直角三角形，BNE=45， AMNE，BPM=BNE=45,7.如图，在ABC中，C=90，点M在BC 上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM与 BN相交于P，求证：BPM=45.,举一反三,如图所示，已知：ABC中，A=

19、90，D是AC上一点，DEBC，垂足为E，点M、N分别在BA、BC上，且BM=BN，DM=DN，求证：DA=DE,思路分析:连接BD，先证明BDMBDN得DBM=DBN，根据角平分线性质定理即可证明,答案：连接BD BM=BN,BD=BD, DM=DN BDMBDN， DBM=DBN， A=90， DABA，DEBC， DA=DE,失误防范,1.平移的基本性质： 平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等 2.基本图形的辅助线的画法: 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分

20、散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略.下面介绍一下基本图形的辅助线的画法：,失误防范,（1）三角形问题添加辅助线方法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍.含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题. 方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题. 方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理. 方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常

21、采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段.,失误防范,（2）平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： 连对角线或平移对角线； 过顶点作对边的垂线构造直角三角形； 连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线； 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形； 过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.,