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1、第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 3.1.3 导数的几何意义,新知探求,课堂探究,新知探求 素养养成,知识点一,问题1:我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,平均变化率,x2-x1,问题2:求函数平均变化率的主要步骤有哪些? 答案:主要有三步: (1)先计算函数值的改变量y=f(x2)-f(x1); (2)再计算自变量的改变量x=x2-x1;,知识点二,问题3:瞬时速度与平均速度有何区别与联系? 答案:瞬时速度是指物体在某一时刻或经过某一位置

2、时的速度,平均速度是指物体在某一时间区间内速度的平均变化率.二者都是用来描述物体运动快慢的物理量.,导数的概念,(2)导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处的导数的过程中可以看到,当x=x0时,f(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时,f(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的(简称导数),y=f(x)的导函数有时也记作y,即.,导函数,知识点三,梳理 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为 .,导数的几何意义,P(x0,y0),切线的斜率,y-y0=f(x0)(x-x0),

3、名师点津: (1)f(x0)与x0的值有关,不同的x0,其导数值一般也不同. (2)f(x0)不一定为0,但f(x0)一定为0.,题型一,求函数的平均变化率,课堂探究 素养提升,方法技巧 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的增量x=x2-x1; (2)求函数值的增量y=f(x2)-f(x1);,即时训练1:已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,x=0.1时,y的值为( ) (A)0.40 (B)0.41 (C)0.43 (D)0.44,解析:y=(2+0.1)2-22=0.41.故选B.,题型二,函数在某点处的导数,方法技巧 根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤

4、 (1)求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0);,即时训练2:求y=x2在x=1处的导数.,题型三,导数的几何意义,(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.,方法技巧 求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程的步骤 (1)求出函数y=f(x)在x0处的导数f(x0),得到切线的斜率k=f(x0); (2)根据直线的点斜式方程,得到切线方程 y-y0=f(x0)(x-x0).,【备用例1】 已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),求过点P与曲线y=f(x)相切的直线方程.,题型四,导数在物理中的应用,【例4】 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷

5、却和加热.如果第x h时,原油的温度(单位:)为y=f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.,即时训练4:子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动,如果它的加速度是a=5105 m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为t0=1.610-3 s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.,【备用例2】 路灯距地面8 m,一个身高1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯的正下方沿直线离开路灯. (1)求影长y与人距路灯的水平距离x之间的关系式;,(2)求人离开路灯第10秒时影长的瞬时变化率.,题型五,易错辨析导数的概念认识不清致误,错解:选C. 纠错:导数定义中分子中自变量的差值与分母应该相等,否则要进行相应的恒等变形.,学霸经验分享区,与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程.解决此类问题的步骤为: 求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率; 由点斜式求得切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0). (2)已知斜率求切点.已知斜率k,求切点(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k. (3)求切线倾斜角的取值范围.先求导数的取值范围,即确定切线斜率的取值范围,然后利用正切函数的单调性解决.,谢谢观赏！,