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1、第2课时 组合的综合应用,第一章 1.2.2 组 合,学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,(1)组合的特点是只取不排 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求. (3)相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合.,知识点 组合的特点,题型探究,例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名

2、队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选；,类型一 有限制条件的组合问题,解答,(2)至多有两名女生当选；,解 至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生；只有1名女生；没有女生，,(3)既要有队长，又要有女生当选.,解答,解 分两类：,所以共有495295790(种)选法.,反思与感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面

3、，确保不重不漏.,跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有 A.210种 B.420种 C.56种 D.22种,解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，,答案,解析,例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？,类型二 与几何有关的组合应用题,解答,(2)

4、以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？,解答,反思与感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法. (2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决.,跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为 A.205 B.110 C.204 D.200,答案,解析,例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；,类型三 分组、分配问题,解答,命题角度

5、1 不同元素分组、分配问题,(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；,解答,(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).,跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本； (5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本.,解答,解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：,(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题.分配给3人，同一本书给不同的人

6、是不同的分法，属于排列问题.,例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子， 求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空；,解答,命题角度2 相同元素分配问题,(2)恰有一个空盒子；,解答,解 恰有一个空盒子，插板分两步进行.,(3)恰有两个空盒子.,解 恰有两个空盒子，插板分两步进行.,解答,这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，,反思与感悟 相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决

7、相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有 种方法.可描述为n1个空中插入m1块板.,跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A.4种 B.10种 C.18种 D.20种,答案,解析,解析 由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析.又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取.,达标检测,1.某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有 A.26种 B.84种 C.35种 D.21种

8、,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,2.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是 A.5 040 B.36 C.18 D.20,1,2,3,4,5,答案,解析,3.直角坐标平面xOy上，平行直线xn(n0,1,2，5)与平行直线yn(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有 A.25个 B.36个 C.100个 D.225个,1,2,3,4,5,答案,解析,4.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种.(用数字作答),1,2,3,4,5,140,答案,解析,5.正六

9、边形顶点和中心共7个点，可组成_个三角形.,解析 不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线， 即共有3种情况，,1,2,3,4,5,32,1.无限制条件的组合应用题.其解题步骤为： (1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答. 2.有限制条件的组合应用题： (1)“含”与“不含”问题： 这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.,规律与方法,(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决. (3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.,