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1、习题课 两个计数原理与排列、组合,第一章 计数原理,学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.进一步加深理解排列与组合的概念. 3.能综合运用排列、组合解决计数问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,1.两个计数原理 (1)分类加法计数原理,m+n,(2)分步乘法计数原理,mn,2.排列、组合综合题的一般解法 一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类. 3.解析受限制条件的排列、组合问题的一般策略 (1)特殊元素优先安排的策略； (2)正难则反，等价转化的策略； (3)相邻问题，捆绑处理的策略； (4

2、)不相邻问题，插空处理的策略；,(5)定序问题，除法处理的策略； (6)“小集团”排列问题，先整体后局部的策略； (7)平均分组问题，除法处理的策略； (8)构造模型的策略.,题型探究,例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果.,类型一 两个计数原理的应用,答案,解析,命题角度1 “类中有步”的计数问题,28 800,解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算： (1)幸运之星在甲箱

3、中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30292017 400(种)结果； (2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20193011 400(种)结果.因此共有17 40011 40028 800(种)不同结果.,反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：,具体意义如下： 从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示. 所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5， “类”与“步”可进一步地理解为： “类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可

4、.,跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A.24种 B.30种 C.36种 D.48种,答案,解析,解析 将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色， 因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况. 故不同的着色方法种数为432432148. 故选D.,命题角度2 “步中有类”的计数问题,答案,解析,264,例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若

5、上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有_种.(用数字作答),解析 上午总测试方法有432124(种)；我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试项目. 若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种； 若上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了， 故共有339(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有2411264(种).,

6、反思与感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：,从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为AD. 完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类. 其中mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数. 完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5. 以上给出了处理步中有类问题的一般方法.,跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有,答案,解析,A.11 B.12 C.20 D.21,解析 根据题意，设5个开关依次为1,2,3,4,5，若电路接通，则开关1,2与3,4,5中至少有1个接通，,对于开关1,2，共有22

7、4(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有413(种)情况， 对于开关3,4,5，共有2228(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有817(种)情况， 则电路接通的情况有3721(种).故选D.,类型二 有限制条件的排列问题,例3 3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？,解答,解 (捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，,(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？,解 (插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧

8、的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.,解答,(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？,解答,解 方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生，,但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，,(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？,解答,解 方法一 因为只要求两端不能都排女生， 所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，,(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？,解答,反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些

9、元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽). (2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中.,答案,解析,跟踪训练3 为迎接中共十九大，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7

10、名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为 A.720 B.768 C.810 D.816,解析 根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，,则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有84024816(种)；,则满足题意的朗诵顺序有81648768(种).故选B.,类型三 排列与组合的综合应用,例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不

11、同的排法共有多少种？,解答,解 分三类：,反思与感悟 解答排列、组合综合问题的思路及注意点 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列. (2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点： 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题. 对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法.,答案,解析,跟踪训练4 某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为_.,36,达标检

12、测,答案,解析,1.给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有 A.8本 B.9本 C.12本 D.18本,1,2,3,4,5,解析 由分步乘法计数原理得，不同编号的书共有23318(本).,解析 根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,3.从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，则不同的选派方法有 A.36种 B.108种 C.210种 D.72种,根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有186108(种).,解析,答

13、案,解析,1,2,3,4,5,4.8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有_种.,30,1,2,3,4,5,5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有_种.(用数字作答),96,答案,解析,规律与方法,1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础. 2.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理. 3.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏. 4.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.,