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1、习题课 二项式定理,第一章 计数原理,学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念. 2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,1.二项式定理及其相关概念,2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性： ； (2)性质： ； (3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的 取得最大值，即最大；当n是奇数时，中间的 相等，且同时取得最大值，即最大； (4)二项式系数之和： ，所用方法是 .,一项,赋值法,两项,题型探究,命题角度1 两个二项式积的问题,类型一 二项式定理的灵活应用,答案,解析,例1 (1) 的展开式中x

2、的系数是 A.4 B.3 C.3 D.4,(2)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a_.,解析 (1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5.,答案,解析,1,则105a5，解得a1.,反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘，求和即得.,答案,解析,解析 令x1，得(1a)(21)52，a1，,令52k1，得k2，,令52k1，得k3，,(2)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2

3、)f(0,3)_.,解析 f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3),答案,解析,120,答案,解析,命题角度2 三项展开式问题,令5k12k20，即k12k25.,展开式的通项为 (k10,1,2，5).,(k20,1,2，5k1).,反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性.,跟踪训练2 (x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为_.,解析 方法一 (x2xy)5(x2x)y5，,答案,解析,30,方法二 (x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一

4、个取x即可，,命题角度3 整除和余数问题 例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期 A.一 B.二 C.三 D.四,解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数.,答案,解析,所以第810天相当于第1天，故为星期一.,反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了. (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.,跟踪训练3 设aZ，且0a13，若512 017a能被13整除，则a_.,答案,解析,1,能被1

5、3整除，0a13. 故1a能被13整除，故a1.,(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；,类型二 二项式系数的综合应用,解答,即n221n980，得n7或n14. 当n7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，,当n14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，,(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.,解答,得n13(舍去)或n12. 设Tk1项的系数最大，,0kn，kN， k10. 展开式中系数最大的项是第11项，,反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记

6、忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心.,跟踪训练4 已知 展开式中二项式系数之和比(2xxlg x)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x.,解答,解 依题意得2n22n1112， 整理得(2n16)(2n14)0，解得n4， 所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项.,化简得x4(1lg x)1， 所以x1或4(1lg x)0，,达标检测,1.在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为 A.30 B.20 C.15 D.10,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,2.在(xy

7、)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是 A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项,1,2,3,4,5,展开式中系数最大的项是第6项.,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,因为n为正奇数， 所以(1)n1297，所以余数为7.,答案,解析,5.设 的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为_.,解析 当x1时，可得M1，二项式系数之和N2n， 由题意，得MN64，2n64，n6.,1,2,3,4,5,160x,1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘，求和即得. 2.三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性.,规律与方法,3.用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了. 4.求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入. 5.确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质.,