1、本讲整合,答案：三维形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 乱序和 顺序和 向量形式 三角不等式,专题一,专题二,专题一:柯西不等式的应用 1.柯西不等式的一般形式为 (a1b1+a2b2+anbn)2,其中ai,biR(i=1,2,n).该不等式的形式简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题. 2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧. 3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否成立.,专题一,专题二,专题一,专题二,变式训练1 已
2、知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1, 求证 c1. 证明：因为a+2b+c=1,a2+b2+c2=1, 所以a+2b=1-c,a2+b2=1-c2. 由柯西不等式可得(12+22)(a2+b2)(a+2b)2, 即5(1-c2)(1-c)2,专题一,专题二,例2设a,b,c为正实数,且a+2b+3c=13,专题一,专题二,变式训练2 求实数x,y的值,使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值. 解：由柯西不等式,得 (12+22+12)(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2 1(y-1)+2(3-x-y)+1(2x+y-6)2=1,专题
3、一,专题二,专题二:排序不等式的应用 1.在利用排序不等式证明相关不等式时,首先考虑构造出两个合适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合,这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择. 2.根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式问题,利用排序不等式解决往往有“化繁为简”的效果. 3.利用排序不等式求最值时,也要关注等号成立的条件,不能忽略.,专题一,专题二,例3设a,b,cR+,利用排序不等式证明:分析：假定a,b,c的大小关系,构造数组a5b5c5, 进行证明.,专题一,专题二,例4设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,分析：构造数组b1,b2,b3
4、,b4,b5和1, 利用排序不等式求解.,解：设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列, 且b1b2b3b4b5. 则b11,b22,b33,b44,b55.,专题一,专题二,变式训练3 设a1,a2,an为正数,且a1+a2+an=5,5,1,2,3,4,考点:柯西不等式的应用 1.(2014陕西高考)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 的最小值为 . 解析：由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)(am+bn)2, 即5(m2+n2)25, m2+n25,当且仅当an=bm时,等号成立.,1,2,3,4,2.(2013湖南高考)已知a
5、,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 . 解析：由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c212,当a=2b=3c=2时,等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12. 答案：12,1,2,3,4,3.(2017江苏高考)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd8. 证明：由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2). 因为a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)264,因此ac+bd8.,1,2,3,4,4.(2015陕西高考)已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4. (1)求实数a,b的值;,
