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1、一 比较法,1.作差比较法 (1)原理:a-b0ab;a-b=0a=b;a-b0ab. (2)步骤:作差变形确定符号下结论.,名师点拨作差比较时,为了判断差的符号,需要先对差式进行变形,这是证明的关键步骤,变形的常用方法有:因式分解、配方、分子(或分母)有理化等.,2.作商比较法(2)步骤:作商变形确定商与1的大小关系下结论.,特别提醒作商比较时,需要注意a,b的符号,当a,b0时,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.,探究一,探究二,思维辨析,用作差比较法证明不等式 【例1】 已知正数a,b,c成等比数列,求证a2-b2+c2(a-b+c)2. 分析：先

2、由a,b,c成等比数列得出a,b,c满足的关系式,再利用作差法进行证明. 证明：因为正数a,b,c成等比数列, 所以b2=ac,b= 所以(a2-b2+c2)-(a-b+c)2 =(a2-b2+c2)-(a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc) =-2b2+2ab-2ac+2bc =-4b2+2ab+2bc,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟作差比较法证明不等式的技巧 1.在作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少. 2.变形所用的方法有配方、因式分解等,要具体情况具体分析. 3.因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差

3、式变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练1 若a,b均为负数,求证a3+b3a2b+ab2. 证明：a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b). 因为a,b均为负数,所以a+b0,(a-b)20, 所以(a-b)2(a+b)0. 故a3+b3a2b+ab2.,探究一,探究二,思维辨析,用作商比较法证明不等式 【例2】 已知 ,求证cos 2cos -sin . 分析：当作差比较法不易证明时,可采用作商比较法证明.,探究一,

4、探究二,思维辨析,反思感悟作商比较法证明不等式的一般步骤 1.作商,将不等式左右两边的式子进行作商. 2.变形,化简商式到最简形式. 3.判断,判断商与1的大小关系. 4.得出结论. 注意:不能忽视判断左右两边的式子的符号.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,误用作商比较法致错 典例已知a0,求证log(a+1)alog(a+2)(a+1).,探究一,探究二,思维辨析,正解当a=1时,因为log(a+1)a=0,log(a+2)(a+1)=log320,所以log(a+1)a0, 所以log(a+1)a1时,因为log(a+1)a0,log(a+2)(a+1)0,所以log(

5、a+1)alog(a+2)(a+1). 综上,不等式log(a+1)alog(a+2)(a+1)成立.,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得用作商比较法证明不等式,要注意前提条件,即由 0,否则可能会得出相反的结论.本题中没有论证log(a+1)a0,log(a+2)(a+1)0,所以证明是不严密的.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练 已知a,b(0,+),nN+, 求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1). 证明：(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1) =an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1 =an(b-a)+bn(a-b)=(a-b)(bn-a

6、n). 当ab0时,a-b0,bn-ana0时,a-b0, 则(a-b)(bn-an)0时,a-b=0, 则(a-b)(bn-an)=0,即(a-b)(bn-an)0, 故(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).,1 2 3 4,1.若P=x2+y2+1,Q=xy-x-y,则( ) A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ 解析：因为2P-2Q=2x2+2y2+2-2xy+2x+2y=(x-y)2+(x+1)2+(y+1)20,所以PQ. 答案：B,1 2 3 4,2.若ab0,则abba与aabb的大小关系是( ) A.abbaaabb D.abbaaabb,答案：A,1 2 3 4,3.已知a1,a2(0,1),M=a1a2,N=a1+a2+1,则M,N的大小关系是 . 解析：M-N=a1a2-a1-a2-1=(a1-1)(a2-1)-2, 因为a1,a2(0,1),所以a1-1,a2-1(-1,0). 所以(a1-1)(a2-1)(0,1). 则(a1-1)(a2-1)-20,故MN. 答案：MN,1 2 3 4,