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1、二 综合法与分析法,1.综合法 一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法,又叫顺推证法或由因导果法.,名师点拨用综合法证明不等式的逻辑关系:AB1B2BnB,由已知逐步推演不等式成立的必要条件,从而得结论.,做一做1 若ab0,则下列不等式中一定成立的是 ( ),答案：A,2.分析法 证明命题时,从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.,名师点拨用分析法证

2、明不等式的逻辑关系:BB1B2BnA,由结论步步寻求使不等式成立的充分条件,从而得到已知(或明显成立的事实).,做一做2 用分析：法证明:欲使AB,只需CD,这里是的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立,即,所以是的必要条件. 答案：B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)用综合法证明时,其实质是由已知逐步推演不等式成立的充分条件,从而得到结论. ( ) (2)用分析法证明时,其实质是由结论步步寻求使不等式成立的充要条件,从而到已知. ( ) (3)综合法是直接证

3、明, 分析法是间接证明. ( ) (4)有些问题的证明,可以将综合法与分析法结合起来使用. ( ),探究一,探究二,规范解答,利用综合法证明不等式 分析：欲证不等式的结构与基本不等式有关,可考虑利用基本不等式进行证明.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,反思感悟1.综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系,要注重分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系,合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键. 2.综合法证明不等式时常用的已知不等式主要有如下几个: (1)a20(aR); (2)(a-b)20(a,bR);,(4)a3+b3+c33abc(a,b

4、,c0); (5)|a|-|b|ab|a|+|b|.,探究一,探究二,规范解答,变式训练1 已知a0,b0,c0,求证a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c). 证明：因为a2+b22ab,a0,b0,所以(a2+b2)(a+b)2ab(a+b), 即a3+b3+a2b+ab22a2b+2ab2. 所以a3+b3a2b+ab2(当且仅当a=b时,等号成立). 同理可得b3+c3b2c+bc2(当且仅当b=c时,等号成立),a3+c3a2c+ac2(当且仅当a=c时,等号成立), 将以上三式两边分别相加,得2(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2, 所以3

5、(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+ab2+b2c)+(c3+bc2+ac2) =(a+b+c)(a2+b2+c2), 所以a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).,探究一,探究二,规范解答,利用分析法证明不等式 【例2】 已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有分析：用分析法证明,从要证明的不等式出发,将要证明的不等式逐步简化,直至得出明显成立的不等式.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,反思感悟分析法证明不等式应注意的问题 1.分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等

6、式和逻辑推理的基本理论. 2.分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式. 3.用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好反推符号“”或“要证”“只需证”“即证”等词语.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,利用综合法与分析法证明不等式 典例已知函数f(x)=ln(x+2),a,b,c是两两不相等的正实数,且a,b,c成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论. 【审题策略】可先利用基本不等式得到a,b,c中间的不等关系,然后再借助对数函数的单调性得到结论.,探究一,探究二,规范

7、解答,【规范展示】f(a)+f(c)2f(b). 证明:因为a,b,c是两两不相等的正实数, 所以由基本不等式可得a+c2 . 又a,b,c成等比数列,所以b2=ac. 于是a+c2 =2b. 而f(a)+f(c)=ln(a+2)(c+2)=ln ac+2(a+c)+4, 2f(b)=2ln(b+2)=ln(b2+4b+4), 因为ac+2(a+c)+4=b2+2(a+c)+4b2+4b+4, 且函数f(x)=ln(x+2)是单调递增函数, 所以ln ac+2(a+c)+4ln(b2+4b+4), 故f(a)+f(c)2f(b).,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】 第1步:给出结论 第2

8、步:利用基本不等式和已知条件得到a,b,c之间的不等关系 第3步:代入求得函数值 第4步:根据对数函数单调性得到结论,探究一,探究二,规范解答,失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的主要原因是: (1)解答的开始没有给出结论,一开始就进行证明.对于这类问题,应该先回答问题的结论,然后再进行证明; (2)忽视了基本不等式等号成立的条件而直接得到a+c2 ; (3)对对数的运算性质不熟练导致变形出现错误,从而无法继续证明; (4)不能从函数的单调性出发联系要证明的结论,导致证明无法继续.,探究一,探究二,规范解答,变式训练 已知a,b是两个不相等的正实数,且a+b=2,求证证明：因为a,b都是正实数

9、,所以原不等式等价于a2(b+1)+b2(a+1)(a+1)(b+1). 展开得a2b+a2+b2a+b2ab+a+b+1, 即a2+b2+ab(a+b)ab+a+b+1. 将a+b=2代入式,只需证a2+b2+2abab+3, 即(a+b)2ab+3. 将a+b=2代入式,整理,得ab2 可得ab1成立, 故原不等式成立.,1 2 3 4,A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 解析：证明过程是由左到右,顺推证明,是综合法. 答案：B,1 2 3 4,2.用分析法证明不等式时的推理过程一定是( ) A.正向、逆向均可进行正确的推理 B.只需能进行逆向推理 C.只需能进行正向推理 D.有时能正向推理,有时能逆向推理 答案：B,1 2 3 4,只需证a2+b22ab,也就是证 ,即证 .由于 显然成立,因此原不等式成立. 答案：a2+b2-2ab0 (a-b)20 (a-b)20.,1 2 3 4,