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1、本讲整合,答案：分析法 放缩法 作差比较法 作商比较法,专题一,专题二,专题三,专题一:利用比较法证明不等式 比较法证明不等式的依据是不等式的意义及实数比较大小的充要条件.作差比较法证明不等式的一般步骤:(1)作差;(2)恒等变形;(3)判断结果的符号;(4)下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少.作商比较法要注意判断分子、分母的符号.,专题一,专题二,专题三,例1设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10.求证logac+logbc4lg c. 分析：利用作差比较法,通过因式分解判断符号,从而证明不等式.,专题一,专题二,

2、专题三,专题一,专题二,专题三,专题二:利用综合法与分析法证明不等式 1.综合法证明不等式的依据:已知的不等式的基本性质,已知的重要不等式以及逻辑推理的基本理论.综合法证明不等式的思维方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.证明时要注意:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当时,等号成立”的理由要理解掌握.,专题一,专题二,专题三,2.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要

3、不等式和逻辑推理的基本理论. 分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件“执果索因”,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.,专题一,专题二,专题三,分析：(1)构造等差数列求解;(2)用比较法证明.,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,分析：题目已知条件较少,不宜用综合法证明,故考虑用分析法证明.,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,证明：因为x,yR,且|x|1,|y|1,即证1+x2y2-2xy1-x2-y2+x2y

4、2, 即-2xy-x2-y2,亦即x2+y22xy. 而x2+y22xy显然成立,故原不等式成立.,专题一,专题二,专题三,专题三:利用反证法与放缩法证明不等式 1.运用反证法证明不等式,主要有以下两个步骤:(1)作出与所证不等式相反的假设;(2)从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立. 2.反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题,涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题,常用反证法. 3.用放缩法证明不等式时,关键是对不等式的一边适当地扩大或缩小以方便化简,使之与不等式的另一边的关系更为明显,从而证明原不等式成立.,专题一,专题

5、二,专题三,例4已知01,y(2-z)1,z(2-x)1均成立. 则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)1. 因为0x2, 所以0x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+11. 同理0y(2-y)1,0z(2-z)1, 所以三式相乘得0xyz(2-x)(2-y)(2-z)1. 与矛盾,故假设不成立. 因此x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.,专题一,专题二,专题三,变式训练3 已知a,b,c,dR,a+b=1,c+d=1,ac+bd1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数. 证明：假设a,b,c,d都是非负数,即a0,b0,c0,d0. 因为a+b=1,c+d=

6、1,所以(a+b)(c+d)=1, 即(ac+bd)+(ad+bc)=1. 因为a,b,c,d都是非负数,所以bc+ad0. 所以ac+bd=1-(ad+bc)1, 这与ac+bd1矛盾, 故假设错误,即a,b,c,d中至少有一个是负数.,专题一,专题二,专题三,例5设an是函数f(x)=x3+n2x-1(nN+)的零点,且0 分析：先根据函数零点的定义得到an的表达式,再利用放缩法证明结论成立.,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,变式训练4 已知a,b,c为三角形的三边,求证:,1,2,3,4,考点:不等式证明 1.(2016全国高考)已知函数 ,M为不等式f(x)2的解集.

7、(1)求M; (2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.,1,2,3,4,(2)由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1, 从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1 =(a2-1)(1-b2)0. 因此|a+b|1+ab|.,1,2,3,4,2.(2015湖南高考)设a0,b0,且a+b= ,证明: (1)a+b2; (2)a2+a0得0a1; 同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾. 故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,1,2,3,4,3.(2014江苏高考)已知x0,y0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)9xy.,1,2,3,4,4.(2013全国高考)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:,证明：(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca, 得a2+b2+c2ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.,