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1、一 数学归纳法,1.数学归纳法的概念 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n=n0时命题成立; (2)假设当n=k(kN+,且kn0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.,名师点拨数学归纳法与归纳法的关系: 归纳法是由一系列特殊事例得出一个结论的推理方法,它属于归纳推理.而数学归纳法是一种演绎推理方法,是一种证明命题的方法.,答案：D,2.数学归纳法的步骤,名师点拨1.数学归纳法的两个步骤缺一不可,第一步中验证n的初始值至关

2、重要,它是递推的基础,但n的初始值不一定是1,而是n的取值范围内的最小值. 2.第二步证明的关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行局部调整.,做一做2 利用数学归纳法证明不等式 (n2,nN+)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了( ) A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项,答案：D,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的

3、数学命题都可以用数学归纳法证明. ( ) (3)用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,归纳假设可以不用. ( ) (4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,用数学归纳法证明整除问题 【例1】 用数学归纳法证明:(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除. 分析：在第二步证明中,注意利用归纳假设,对当n=k+1时的式子进行合理变形. 证明：(1)当n=1时,(31+1)7-1=27能被9整除,命题成立. (2)假设当n=k(k1)时命题成立,即(3k+1)7k-1能被9整除. 当n=k+1时,3(k+1

4、)+17k+1-1=(3k+1)7k+1-1+37k+1 =(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+1 =(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k. 因为(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除, 所以(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除, 即当n=k+1时命题成立, 由(1)(2)可知,(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用

5、归纳假设使问题得到解决.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,其中nN+,aR. 证明：(1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1即为a2+a+1,能够被a2+a+1整除,命题成立. (2)假设当n=k(k1)时命题成立,即ak+1+(a+1)2k-1能够被a2+a+1整除, 当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1 =aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a+1)2k-1(a2+

6、a+1). 由归纳假设知,上式能够被a2+a+1整除, 即当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知,命题对任意nN+都成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用数学归纳法证明等式 【例2】 用数学归纳法证明:分析：按照数学归纳法的步骤进行证明,注意第二步中合理运用归纳假设.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,命题成立.,即当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知,命题对任意nN+都成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟应用数学归纳法证明等式时应注意的问题 1.第一步的验证,对于有些问题验证的并不是n=1,有时需验证n

7、=2或n=3等. 2.注意当n=k+1时式子的项数,特别是寻找n=k与n=k+1的关系式之间的关系时,项数发生变化容易被弄错,因此对当n=k与n=k+1时关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障. 3.在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明就不再是数学归纳法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 用数学归纳法证明:1+32+522+(2n-1)2n-1=2n(2n-3)+3(nN+). 证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,命题成立. (2)假设当n=k(k1)时命题成立,即1+32+522+(2k-1)2k-1=2k(2

8、k-3)+3. 当n=k+1时,1+32+522+(2k-1)2k-1+(2k+1)2k =2k(2k-3)+3+(2k+1)2k =2k(4k-2)+3=2k+12(k+1)-3+3, 即当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)知,命题对任何nN+都成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用数学归纳法证明平面几何问题 【例3】 平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2(nN+)个部分. 分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,所以再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一

9、段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后,平面分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证明：(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以当n=1时命题成立. (2)假设当n=k(k1)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分. 当n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与这k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. 故当n=k+

10、1时命题成立. 由(1)(2)可知,对一切nN+命题成立,即这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(nN+).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 平面上有n(nN+)条直线,其中任意两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,求证:这n条直线把平面分成个部分.,证明：(1)当n=1时,一条直线把平面分成2部分,(2)假设当n=k(k1)时命题成立,即k条直线把平面分成,当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线都相交,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,所以k个交点把直线l分成(k+1)

11、段,每一段把它所在的平面区域分成2部分,故新增加了(k+1)个部分.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,即当n=k+1时命题也成立. 由(1)(2)知,命题对任何nN+都成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证明过程中未用归纳假设致错,即当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)知,命题对nN+成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,即当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)知,命题对nN+成立.,纠错心得本题的错误在于证明当n=k+1命题成立这一步骤时,没有运用归纳假设,而是直接利用等比数列的前n项和公式求得,这不是用数学归纳法证明问题,是错误的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,即当

12、n=k+1时命题成立. 由(1)(2)知,命题对于任意的nN+都成立.,1 2 3 4 5,1.在用数学归纳法证明凸多边形内角和定理时,第一步应验证( ) A.n=1成立 B.n=2成立 C.n=3成立 D.n=4成立 解析：凸n边形的内角和为(n-2),最少边的凸n边形为三角形,所以应验证当n=3时成立. 答案：C,1 2 3 4 5,2.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1= (nN+,a1),在验证当n=1时,左边所得的项为( ) A.1 B.1+a+a2 C.1+a D.1+a+a2+a3 解析：因为当n=1时,an+1=a2,所以此时式子左边=1+a+a2. 答案：B,1 2 3

13、4 5,3.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+),由n=k到n=k+1,等式左边的变化是( ) A.多乘了(2k+1) B.多乘了2(2k+1) C.多乘了(2k+1)(2k+2) D.多乘了2(k+1),答案：B,1 2 3 4 5,4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用归纳假设应将5k+1-2k+1变形为 . 解析：假设当n=k(k1)时,5k-2k能被3整除,则当n=k+1时,5k+1-2k+1=5(5k-2k)+32k. 由假设知5k-2k能被3整除,又32k能被3整除,故5(5k-2k)+32k能被3整除. 答案：5(5k-2k)+32k,1 2 3 4 5,5.平面内有n(n2,nN+)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,证明交点的个数f(n)=,证明：(1)当n=2时,两条直线有一个交点,f(2)=1,命题成立. (2)假设当n=k(k2,kN+)时,命题成立,那么,当n=k+1时,第(k+1)条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点,即当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知,命题对任何n2,nN+都成立.,