1、抛物线及其标准方程,生活中的抛物线,投篮运动,数学中的抛物线,二次函数的图象是开口向上或向下的抛物线,一、定义,平面内与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,注意：定义中的定直线l为什么要求不过定点F？ 如果F在直线l上，则轨迹是过点F垂直于直线l 的一条直线.,相关概念,定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l叫做抛物线的准线。 过F作l的垂线，垂足为K，KF的长度表示焦点到准线的距离，用小写字母p表示。 抛物线和过F垂直于l的直线的交点O叫作抛物线的顶点。,二、轨迹,三、标准方程,回顾标准方程的推导过程？,三、标准方程,如何建立直角坐标系？,三、标准方程,三种建
2、系方式推导,第1种,第2种,第3种,三、标准方程,设KF的长度为p,设点M的坐标为（x,y）,由定义可知，,化简得 y2 = 2px（p0）,则F(p/2,0), l: x=-p/2,第二种建系方式推导过程,三、标准方程,思考：那个方程适合做抛物线的标准方程？,第二种 ：y2 = 2px（p0）,由于其顶点做坐标原点，焦点位于坐标轴上，所以不含有常数项,三、标准方程,方程y2 = 2px（p0）叫做抛物线的标准方程,焦点位于x轴的正半轴上，准线交于x轴的负半轴,右焦点 ，左准线l：,p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离,但对于一条抛物线，它在坐标平面内的位置可以不同，所以建立的坐标系也
3、不同，所得抛物线的方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。,y2 = 2px（p0）,y2 = -2px（p0）,x2 = 2py（p0）,x2 = -2py（p0）,化简y2 = -2px（p0）,焦点位于x轴的正半轴,焦点位于y轴的正半轴,设KF的长度为p,设点M的坐标为（x,y）,由定义可知，,化简x2 = 2py（p0）,则F(0,p/2), l: y=-p/2,设KF的长度为p,设点M的坐标为（x,y）,由定义可知，,则F(-p/2,0), l: x=p/2,焦点位于y轴的负半轴,设KF的长度为p,设点M的坐标为（x,y）,由定义可知，,则F(0,-p/2), l: y=p/2
4、化简x2 = -2py（p0）,归纳总结,二次项在左，一次项在右，二次项系数为1一次项定轴（一次项是x，焦点在x轴）一次项系数正负定向（标准方程一次项系数正负决定其焦点位于正负半轴，系数正的对应正半轴，开口向右）p是焦点到准线的距离，p/2是顶点到焦点的距离或顶点到准线的距离，标准方程一次项系数是正负2p，注意这三者的倍数关系。 注意：只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线的方程才有标准形式。,四、例题讲解,例1：抛物线的标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程。变式：求下列抛物线 的焦点坐标和准线方程。,非标转方程先化成标准方程,四、例题讲解,例2：已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上,并且焦点到准线的的距离为4，写出抛物线的标准方程。变式：已知抛物线的焦点是 ，求抛物线的标准方程。,(1)定位(焦点位置)；(2)定量（求p）,直接法,四、例题讲解,例3：求经过点 的抛物线的标准方程。 解：点 在第三象限，所以抛物线开口向下 或向左，所以设标准方程为 或 ,将点代入，解得 ，所求抛物线方程为 或 。,待定系数法,五、小节归纳,
