1、1.3.3导数的实际应用,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，
2、那么这个极值点必定是最值点。,问题1:海报版面尺寸的设计,学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,解：设版心的高为xcm,则宽为,此时四周空白面积为,学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,解：设版心的高为xcm,则宽为,此时四周空白面积为：,求导数，有,解得，x=16 (x=-16舍去）,因此
3、，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。,所以，当版心高为16cm,宽为8cm时，能使四周空白面积最小。,答：当版心高为16cm,宽为8cm时，海报四周空白面积最小。,解法二：由解法(一)得,练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？,则两个正方形面积和为,由问题的实际意义可知：,例3.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是 分，其中 r 是瓶子
4、的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm.问题()瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？()瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？,解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是,令,当,当半径r时，f (r)0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r时，f (r)0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低,1.半径为cm 时，利润最小，这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值,半径为cm时，利润最大,解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学
5、模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示:,方法小结,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学模型,作答,表面积,设半径为R,则高为h,表面积写成R的函数,问题就转化求函数的最值问题,解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2rh+2r2.,由V=r2h,得 ,则,令 ,解得 ,从而,即h=2r.,由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.,答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.,如何解决优化问题?,优化问题,优化问题的答案,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,
