1、,简单复合函数的求导法则,08:48:33,知识回顾,1、导数公式表,08:48:33,2.导数的四则运算法则：,设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则,推论：c f(x) = c f(x),08:48:33,课前练习：,08:48:33,引例,一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形 成一个圆形油膜，其面积 是半径 的函数：,油膜半径 随着时间 的增加而扩大，其函数关 系为：,问：（1）油膜面积 关于时间 函数关系式（2）该函数关系式有何特点,1.复合函数的概念:,讲授新课：,08:48:33,注意： 1、复合函数是y关于的x函数，自变量是x，而非中间变量u； 2、yf(u)叫
2、作外层函数， u = (x)叫作内层函数.,指出下列函数是怎样复合而成：,练习1,08:48:33,08:48:33,其实， 是一个复合函数，,问题：,分析三个函数解析式以及导数 之间的关系:,定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，,则复合函数 y = f ( (x) 也可导.,且,或,复合函数的求导法则,即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 ),证 设变量 x 有增量 x，,由于 u 可导，,相应地变量 u 有增量 u，,从而 y 有增量 y.,求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)合理选定中间变量(中间变量的选
3、择应是基本函数结构)； (2)正确分析函数的复合关系； (3)从最外层开始，由外及里，一层层地求导；明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数,例1：求,的导数,分析：,解1：,解2：,可由y=sinu,u=2x复合而成,=2cos2x,?,练习2 设 y = (2x + 1)5，求 y .,解 把 2x + 1 看成中间变量 u，,y = u5，u = 2x + 1,复合而成，,所以,将 y = (2x + 1)5 看成是由,由于,例2 设 y = sin2 x，求 y .,解 这个函数可以看成是 y =
4、sin x sin x, 可利用乘法的导数公式，,将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.,而,所以,这里，,我们用复合函数求导法.,求 y .,解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.,这样可以直接写出下式,例 3,练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).,解,求复合函数导数的步骤：确定中间变量，明确函数关系yf(u)， u = (x) ；分步求导，先求f(u)，再求 (x)计算f(u) (x)，并把中间变量转化为自变量的函数整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤,作 业,课本P51页习题2-5第1,2题,【解析】,解：(2)y=(sin3x+sinx3) =(sin3x)+(sinx3) =3sin2x(sinx)+cosx3(x3) =3sin2xcosx+3x2cosx3.,【解析】,自学课本：P50，例3,复习检测,复习检测,复习检测,复习检测,
