1、数系的扩充与复数的概念,自然数,分数,有理数,无理数,实数,分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。,整数,负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。,无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。,在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？,知识引入,引入一个新数：,现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.,全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .,复数的概
2、念,复数的代数形式：,通常用字母 z 表示，即,其中 称为虚数单位。,(3)其中a=0且b0时称为纯虚数。,注意：,(2)当b0时，a+bi是虚数，,(1)当b=0时，a+bi就是实数，,如：1，2.5，-1/2,如：,如：,1.复数：形如 a + bi (a , bR) 的数叫做复数.,复数a + bi (a,bR),a 实部 b 虚部,注意（1）复数代数形式中，a，b R；（2）不同为实数的两个复数不能比较大小.,全体复数所组成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示.,N Z Q R C,2.复数集,练一练：,1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,
3、2、判断下列命题是否正确： （1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 （2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 （3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数,实数,纯虚数,虚数,实数,纯虚数,虚数,错误，当b=0时不成立,错误，当b=0时不成立,正确,例1 实数m取什么值时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,（3）当,即 时，复数z 是 纯虚数,练习:当m为何实数时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,
4、Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,特别注意：虚轴不包括原点。,复数的一个几何意义,y,x,A,B,C,O,例2:用复平面内点表示复数(每个小方格的边长是1)：3-2i, 3i, -3, 0.,y,x,A,B,C,D,E,O,例3:说出图中复平面内点所表示的复数(每个小方格的边长是1),6+7i,-6,-8+6i,-3i,2-7i,注意（1）a,b,c,d 必须是实数；,两个复数相等的充要条件是：它们的实部和虚部分别相等,3.相等的复数,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两
5、个复数相等,例4 已知 ，其中 求,解：根据复数相等的定义，得方程组,解得,例5 若 和 是共轭复数，求实数的值。,4.共轭复数,定义：实部相等，虚部互为相反数的 两个复数为共轭复数。,即 复数a+bi与a-bi互为共轭复数。,如,解：根据共轭复数的定义，得方程组,解得,1.已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中 x , y R,求 x 与 y .,2.已知 x+2y-5 + (x-y+1)i =0,求实数 x 与 y 的值.,练习,3.已知 (2x-1) + i 与 y -(3-y)i 是共轭复数,其中 x , y R,求 x 与 y .,小结:,1.虚数单位i的引入；,
