1、数系的扩充和复数的引入,复习回顾,数系的扩充,用图形表示为：,新课引入,即：在实数范围内，,引入新数：,实数范围内不能解决这个问题，那么我们能 否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问 题能得到圆满解决呢？,虚数单位 ：,我们把引入的这个数 叫做虚数单位，并且规定：,复数的定义：,我们把形如a+bi (a,bR，i是虚数单位)的数 叫做复数。全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。,复数的代数形式：,复数的分类：,对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi是实数a； 当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时， z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0。,复数
2、集与其它集合的关系：,图形表示：,例1 说出下列三个复数的实部、虚部，并且 指出它们是实数还是虚数，如果是虚数还应指出是 否为纯虚数：,根据复数的概念，复数a+bi 中，b=0时叫实数； b0时叫虚数；a=0且b0时叫纯虚数。,分析：,注意： ，虚数单位的平方是实数！,例题分析,例2 实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i 是：,(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？,解：(1)当m1=0，即m=1时，复数z是实数；(2)当m10，即m1时，复数z是虚数；(3)当m+1=0，且m10时，即m=1时， 复数z 是纯虚数。,例3 计算、化简：,解：,通过计算发现，虚数单位的乘方具有周期
3、性：,探索,复数是由实数扩充得到的，那么实数集的性 质和特点能不能推广到复数集呢？,实数的部分性质和特点：,(1) 实数可以判定相等或不相等；,(3) 不相等的实数可以比较大小；,(2) 实数可以用数轴上的点表示；,(4) 实数可以进行四则运算；,(5) 负实数不能进行开偶次方根运算；,探索,问题1,问题3,问题2,复数的性质和特点如何？,当两个复数的实部和虚部分别相等时，这两个 复数相等 。,即： 且 时，,问题1：复数相等的问题,复数相等的内涵：,复数 可用有序实数对 表示。,根据复数相等的意义：两复数相等，它们 的实部和虚部分别相等,可以列出方程组求得两 未知数。,例题分析,例4 设 ，
4、且满足： 求 的值。,分析：,根据相等的意义得：,解方程可得：,解：,复数相等的问题,求方程组解的问题,转化,一一对应,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复数平面（简称复平面）,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,复数z=a+bi (a、bR)可用点Z(a，b)表示，这 个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。,复平面的定义：,在复平面上如何表示实数、纯虚数？,问题：能否把绝对值概念推广到复数范围呢？,X,O,A,a,| a | =
5、 | OA |,x,z=a+bi,y,Z (a,b),| z | = |OZ|,问题：复数能否比较大小？,复数的模（或绝对值）：,点Z到原点的距离 叫作复数z的模或绝对值， 记作 。,例5 在复平面内表示下列复数，并分别求出它 们的模。,分析：求模即将a、b带入模长公式：,解：,两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小。,问题：复数能否比较大小？,小结：,形如 的数叫复数，a 叫复数的实部 Re z， b叫复数的虚部Im z。全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C表示。, 复数 与实数、虚数、纯虚数及0的关系 ：,b=0时是实数； b0时是虚数；a=0，b0时，是纯虚数。, 复数定义：,小结, 两复数相等： 复平面： 复数的模长：,若 则,
