1、函数的极值,1.创设情境 引入课题,“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”说的是庐山的高低起伏错落有致，在群山中各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是附近的最高点.如图为某同学绘制的庐山主峰剖面图。,2.提出问题 分析探究,问题1：观察 图像 ，在区间 内，函数值 有何特点？ 问题2：函数值 在定义域内一定是最大值吗？ 问题3：对于函数 在 ， 上，其单调性与导函数的符号有 何特点？ 问题4：函数 在 上，结论如何？,3.抽象概括 形成概念,4.循序渐进 完善新知,概念辨析：,(i)极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或者最小。并不意味它在函数
2、的整个的定义域内最大或最小。 (ii)函数的极值不是唯一的。即函数在某区间上或者定义域内极大值或极小值可以不止一个。 (iii)极大值与极小值之间无确定关系。即极大值未必大于极小值。 (iv)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。,4.循序渐进 完善新知,小组合作探究：（极值与导数的关系）,结合问题3和极值的定义，如何求函数的极值呢？,问题3：对于函数 在 ， 上，其单调性与导函数的符号有 何特点？,如果函数 在区间 上是递减的，在区间 上是递增的，则 是极小值点， 是极小值。,如果函数 在区间 上是递增的，在区间 上是递减的，则 是极大值点， 是极大值。,函数极值的判定
3、,4.循序渐进 完善新知,（1）根据定义，利用函数单调性判别： 如果函数 在区间 上是递增的，在区间 上是递减的，则 是极大值点， 是极大值。 如果函数 在区间 上是递减的，在区间 上是递增的，则 是极小值点， 是极小值。,4.循序渐进 完善新知,（2）利用导数和单调性的关系，图表判别：极大值的判定,极小值的判定,5.新知演练 形成反馈,例1 求下列函数的极值. （1） （2）,5.新知演练 形成反馈,例1: 求下列函数的极值. （1） （2）,求函数 的极值点的步骤：1. 确定函数 定义域，并求出导数 .2. 解方程 .3. 对于方程 的每个解 ，分析 在左右两侧的符号 （即 的单调性），确
4、定极值点：（1）若 在 两侧的符号“左正右负”，则 为极大值点；（2）若 在 两侧的符号“左负右正”，则 为极小值点；（3）若 在 两侧的符号相同，则 不是极值点.,解：由题意得,5.新知演练 形成反馈,由极值的定义得，此函数无极值.,例2:判断函数 有无极值.,对于可导函数，导数为零的点不一定是极值点， 而极值点的 导数一定为零。导数为零是函数有极值的必要不充分条件。,5.新知演练 形成反馈,练习：求函数 的极值.,解：由题意得函数的定义域为,故当 时，函数有极小值,5.新知演练 形成反馈,链接高考：,例3：若函数 在R上只有一个零点，求 常数k的取值范围.,规律方法：,1、本题的关键是根据
5、单调性和极值的关系画草图。 2、极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合。,5.新知演练 形成反馈,互动探究,在本例中，若函数在R上恰有三个不同的零点，求常数k的取值范围.,求函数 的极值点的步骤： （1）求函数定义域； （2）求出导数 （3）解方程 （4）列表，判断极值.,6.回顾反思 总结提炼,课堂小结:,（1）通过本节课的学习，学生要掌握求函数极值的基本步骤。,（2）对于可导函数，导数为零的点不一定是极值点， 而极值点的导数一定为零。导数为零是函数有极值的必要不充分条件。 （3）函数极值是函数部分区域的特征，极值点一定是某一区间内 的点，而不能是区间端点。函数在其单调区间内无极值。,P86,习题4-1 A组,第3题,7.分层作业 自主探究,若函数 的图像与 轴恰有一个交点，求 的值.,必做：,选做：,谢谢指导！,
