1、1.2 函数的极值,f (x)0,f (x)0,复习:函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，,f(x)在该区间内递增,f(x)在该区间内递减,问题1： yf(x)在xa和x=c处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？ 问题2： yf(x)在xb和x=d处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？,探究,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；,如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的
2、一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值）,使函数取得极值的点x0称为极值点,定义,问题1：一个函数是否只有一个极值？ 问题2：极大值与极小值的大小关系是否唯一?,探究,极值点两侧函数图像有何特点?,结论：极值点两侧函数图像单调性相反极值点处，f(x) =0,探究,思考：若 f (x0)=0，则x0是否为极值点？,探究,函数y=f(x)在点x0取极值的充分条件是： 函数在点x0处的导数值为0 在x0点附近的左侧导数大于（小于）零，右侧小于（大于）零。 y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的必要条件。,结论,因为 所以
3、,例1 求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 ;,当 x = 2 时, f (x)有极小值 .,定义域：R,求解函数极值的一般步骤：,小结,（4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,（1）确定函数的定义域,（2）求方程f(x)=0的根,（3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格,练习,1、求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以, 当 时, f (
4、x)有极小值,定义域：R,1、求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,练习,定义域：R,2、,0,0,0,-,-,+,+,减,减,增,增,1,0,1,导数为零的点不一定是极值点！,练习,解：,定义域：R,x=-1, x=0,x=1;,x=0是函数极小值点，极小值y=0.,例2、已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10.求常数a，b的值 思路点拨 由函数f(x)在x1处有极值10，可得f(1)0且f(1)10，由此列出方程求a，b的值，但还要注意检验求出的a，b的值是否满足函数取得极值的条件,已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性,注意,小结,这节课你学到了什么？有什么样的感悟？ 谈谈你的想法。,
