1、4.2.2 数列中的证明及存在性问题,-2-,等差(比)数列的判断与证明 例1(2018全国,文17)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 . (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,-3-,-4-,解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法. (1)定义法:对于n1的任意自然数,验证 为同一常数. (2)通项公式法:若an=kn+b(nN*),则an为等差数列;若an=pqkn+b(nN*),则an为等比数列. (3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则an为等差数列;若 (
2、nN*,n2),则an为等比数列. 2.对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.,-5-,对点训练1设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,-6-,数列型不等式的证明 例2设Sn是数列an的前n项和,an0,且4Sn=an(an+2). (1)求数列an的通项公式;,-7-,-8-,解题心得要证明关于一个数列的前n项和的不等式,一般有两种思路:一是先求和,再
3、对和式放缩;二是先对数列的通项放缩,再求数列的和,必要时对其和再放缩.,-9-,对点训练2已知数列log2(an-1)(nN*)为等差数列,且a1=3,a3=9. (1)求数列an的通项公式;,(1)解 设等差数列log2(an-1)的公差为d. 由a1=3,a3=9,得log22+2d=log28,即d=1. log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.,-10-,数列中的存在性问题 例3已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数. (1)证明:an+2-an=; (2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.,(1)证明 由题设,
4、anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1, 两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1. 因为an+10,所以an+2-an=. (2)解 由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1. 由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在=4,使得数列an为等差数列.,-11-,解题心得假设推理法:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.,-12-,-13-,
