1、第3讲 分类讨论思想、 转化与化归思想,一、分类讨论思想,-3-,从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,现已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与函数)常有一道分类讨论求解的把关题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.,-4-,1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,首先需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答. 2.分类讨论的原则 (1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类
2、的要尽量避免,决不无原则地讨论. 3.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.,-5-,应用一,应用二,应用三,应用一 由数学的概念引起的分类讨论 例1若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)内单调递增,则实数a的取值范围为 .,答案,解析,-6-,应用一,应用二,应用三,思维升华由数学概念引起的分类讨论有:绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜
3、率、指数、对数函数等.,-7-,应用一,应用二,应用三,突破训练1(2018山东济南二模,理3)已知角的终边经过点(m,-2m),其中m0,则sin +cos 等于( ),答案,解析,-8-,应用一,应用二,应用三,应用二 由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论 例2设等比数列an的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9,则数列的公比q是( ),答案,解析,-9-,应用一,应用二,应用三,思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论. 2.
4、有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是零、是正数、还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.,-10-,应用一,应用二,应用三,突破训练2若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xR恒成立,则a的取值范围是( ) A.(-,2 B.-2,2 C.(-2,2 D.(-,-2),答案,解析,-11-,应用一,应用二,应用三,应用三 根据字母的取值情况分类讨论 例3(2018山西晋城一模,理21改编)已知函数f(x)= ax2+
5、a-1)x+(1-2a)ln x,当a0时,讨论函数f(x)的单调性.,-12-,应用一,应用二,应用三,-13-,应用一,应用二,应用三,思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.,-14-,应用一,应用二,应用三,突破训练3若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是( )C.(-,0) D.(0,+),答案,解析,-15-,1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等. 2.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.,
