1、第十五章 不等式选讲,高考文数,考点一 解含有绝对值的不等式1.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|c,|ax+b|c型不等式的解法: (i)若c0,则|ax+b|c等价于-cax+bc,|ax+b|c等价于ax+bc或ax+b-c, 然后根据a,b的值解出即可. (ii)若c0,则|ax+b|c的解集为 , |ax+b|c的解集为R. (2)对于形如|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c的不等式,可通过分类讨论或利 用绝对值的几何意义进行求解.2.绝对值三角不等式 定理1:若a,b为实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.,知识清单,定理2:若a,b,c为实
2、数,则|a-c|a-b|+|b-c|, 等号成立(a-b)(b-c)0,即b落在a,c之间. 推论1:|a|-|b|a+b|; 推论2:|a|-|b|a-b|.,考点二 证明不等式证明不等式的基本方法: (1)比较法;(2)综合法与分析法;(3)反证法和放缩法.,含有两个绝对值的不等式的解法 形如|x-a|+|x-b|c(或c)型不等式主要有三种解法: (1)分段讨论法:利用绝对值符号内式子对应方程的根,将数轴分为 (-,a,(a,b,(b,+)(此处设ab)三个部分,在每个部分上去掉绝对值符号, 分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集. (2)几何法:利用|x-a|+|x-b|
3、c(c)的几何意义:数轴上到点x1=a和x2=b的 距离之和不小于(不大于)c的点的全体. (3)图象法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象,结合图象求解.,方法技巧,例1 (2016课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,解析 (1)f(x)= (4分) y=f(x)的图象如图所示.,(6分),(2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x= 或x=5, (8分) 故f(x)1的解集为x|11的解集为
4、 . (10分),证明不等式的方法 1.用比较法证明不等式最常用的是差值比较法,其基本步骤是:作差; 变形;判断差的符号;下结论.其中“变形”是证明的关键,一般通 过因式分解或配方将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式. 2.在证明不等式时,分析法与综合法常常联合使用,实际上是以分析法为 主,借助综合法,使证明的问题明朗化,此种方法称为分析综合法.分析综 合法的实质是既充分利用已知条件,又时刻不忘解题目标,兼顾条件与 结论,便于找到解题途径. 例2 (2017福建福州八中第六次质检,23)已知函数f(x)=|x-1|. (1)解不等式f(x)+f(x+4)8; (2)若|a|a|f .,解析 (1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|= 当x1时,由2x+28,解得x3,所以x3. 所以,不等式f(x)+f(x+4)8的解集为x|x-5或x3. (2)证明: f(ab)|a|f , 即|ab-1|a-b|. 因为|a|0, 所以|ab-1|a-b|,故所证不等式成立.,
