1、第三节 与圆有关的计算,考点一 与圆有关的计算 百变例题4 如图,AB是O的直径,P是O外一点, PAAB,弦BCOP,且APC60,AP2 .,(1)求证:PC为O的切线; 【自主解答】证明:如解图1,连接OC, BCOP, BPOA,BCOCOP, OBOC,BOCB, COPAOP; OCOA,OPOP,,PCOPAO(SAS), OCPOAP90, OC为O的半径, PC是O的切线;,(2)求AOP的度数; 【自主解答】解:PC、PA是O的切线,且APC60, APO30, AOP60;,(3)求O的半径; 【自主解答】解:APC60,AP2 , 由(2)得APO30, 又BAP90,
2、OP2OA, 在RtAPO中,OP2OA2AP2, 即4OA2OA2(2 )2, 解得OA2,O的半径为2;,(4)求弧 的长度; 【自主解答】解:在四边形OAPC中,APC60, PCOPAO90, AOC120, ,(5)求BC的长; 【自主解答】解:在四边形OAPC中,APC60, PCOPAO90, AOC120,BOC60, 又OBOC, OBC为等边三角形, BCOBOC2;,(6)求图中阴影部分的面积; 【自主解答】解:S阴影SAPOS扇形OAD,(7)若扇形AOC(劣弧 所对的部分)是圆锥的侧面展开图,求该圆锥的高h. 【自主解答】解:在图中作辅助线如解图2. FG即为扇形AO
3、C的半径,FGOA2, 圆锥底面圆的周长即为扇形AOC的弧长 即 解得,解图2,1(2015云南省卷)若扇形面积为3,圆心角为60, 则该扇形的半径为( ) A3 B9 C2 D3,D,2(2014云南省卷)已知扇形的圆心角为45,半径长为 12,则该扇形的弧长为( ) A. B2 C3 D12,C,考点二 阴影部分面积的计算 命题角度 直接用面积公式计算 例1(2018成都)如图,在ABCD中,B60,C的半径 为3,则图中阴影部分的面积是( )A B2 C3 D6,【分析】 由图可知,阴影部分是半径为3,圆心角为C的扇形,故需计算C的度数,由平行四边形邻角互补可得结论,再利用扇形面积公式计
4、算即可 【自主解答】 四边形ABCD是平行四边形,ABCD. BC180.C18060120.S阴影 3.故选C.,命题角度 等积转化法 例2 如图,AB是O的直径,弦CDAB,CDB30,CD 2 ,则阴影部分图形的面积为( ) A4 B2 C D.,【分析】 可由圆的对称性将阴影部分面积等积转化为扇形OBC的面积,利用公式计算,【自主解答】如解图,设CD交OB于E,AB是 直径,CDAB,CEDE,CDB30, DBE90BDE60.COB2CDB 60,COEDBE,CEDE,CEODEB, COEDBE(AAS),在RtCOE中,CEDE ,COE 60,CO2.S阴影S扇形OCB 故
5、选D.,命题角度 直接和差法 例3(2018益阳)如图,正方形ABCD内接于圆O, AB4,则图中阴影部分的面积是( ) A416 B816 C1632 D3216,【分析】 观察图形,可知阴影部分的面积为圆的面积减去 正方形的面积 【自主解答】由正方形ABCD中AB4,可得圆O半径为2 , 所以S阴影S圆OS正方形ABCD(2 )242816.故选 B.,命题角度 构造和差法 例4(2017云南省卷)如图,边长为4的正 方形ABCD外切于O,切点分别为E、F、G、 H.则图中阴影部分的面积为 ,【分析】 如解图,连接HO并延长交CB于点P,证四边形AHPB 为矩形知HF为O的直径,同理得EG
6、为O的直径,再证四边 形DGOH、四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形 得出圆的半径及HGF为等腰直角三角形,根据S阴影 SO SHGF可得答案,【自主解答】如解图,连接HO并延长HO交CB 于点P,正方形ABCD外切于O,A BAHP90,四边形AHPB为矩形, OPB90,又OFB90,点P与点 F重合,则HF为O的直径,同理EG为O的直径,由D OGDOHD90且OHOG知,四边形DGOH为正方形,,同理四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形, DHDGGCCF2,HGOFGO45,HGF 90,GHGF 2 ,则S阴影 SOSHGF 22 2 2
7、24,故答案为24.,常见阴影部分面积计算的方法汇总,考点三 圆锥、圆柱的相关计算 例5(2016云南省卷)如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长 分别为6,16的长方形,那么这个圆柱的体积等于 【分析】分两种情况:底面周长为6,高为16;底面 周长为16,高为6;先根据底面周长得到底面半径,再根 据圆柱的体积公式计算即可求解,【自主解答】 底面周长为6,高为16,( )2 16 16144;底面周长为16,高为6, ( )26646384.这个圆柱的体积为 144或384.,例6(2017云南省卷)正如我们小学学过的圆锥体积公式Vr2h(表示圆周率,r表示圆锥的底面半径,h表示圆锥 的高)一样,许
8、多几何量的计算都要用到.祖冲之是世界上 第一个把计算到小数点后7位的中国古代科学家,创造了 当时世界上的最高水平,差不多过了1000年,才有人把计 算得更精确在辉煌成就的背后,我们来看看祖冲之付出了 多少现在的研究表明,仅仅就计算来讲,他至少要对9位,数字反复进行130次以上的各种运算,包括开方在内即使今天我们用纸笔来算,也绝不是一件轻松的事情,何况那时候没有现在的纸笔,数学计算不是用现在的阿拉伯数字,而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的,这需要怎样的细心和毅力啊!他这种严谨治学的态度,不怕复杂计算的毅力,值得我们学习,下面我们就来通过计算解决问题:已知圆锥的侧面展开图是 个半圆,若该圆锥的体积等于9 ,则这个圆锥的高等于 ( ),【分析】 设母线长为R,底面圆半径为r,根据弧长公式、 扇形面积公式以及圆锥体积公式即可求出圆锥的高 【自主解答】设母线长为R,底面圆半径为r,圆锥的高为 h,由于圆锥的侧面展开图是个半圆,侧面展开图的弧长 为: R,底面圆的周长为:2r,R2r, R2r,由勾股定理可知:h r,圆锥的体积等于 9 ,9 r2h,r3,h3 .故选D.,
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