中考数学培优满分专题突破专题2图形变式与拓展.doc

1、1专题 2 图形变式与拓展常考类型分析专题类型突破类型 1 关于三角形的变式拓展问题【例 1】在图 1 至图 3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，1245.(1)如图 1，若 AOOB，请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系；(2)将图 1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图 2，其中 AOOB.求证：ACBD，AC BD；(3)将图 2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到图 3，求【思路分析】通过观察可以猜想 AO 与 BD 相等且互相垂直；在后面的问题中，通过添加 BD的垂线，使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决【解】(1)AOBD，AOBD.(2)证

2、明：如图 1，过点 B 作 BECA 交 DO 于点 E，延长 AC 交 DB 的延长线于点 F.ACOBEO.又AOOB，AOCBOE，AOC BOE. ACBE.又145，ACOBEO135.DEB45.245，BEBD，EBD90.ACBD.BEAC，AFD90.ACBD.2(3)如图 2，过点 B 作 BECA 交 DO 于点 E，BEOACO.又BOEAOC，BOE AOC.又OBkAO，由(2)的方法易得 BEBD.满分技法图形拓展类问题的解答往往需要借助几何直观、转化、类比的思想方法在原图形中具备的位置和数量关系，在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关系，可通过类比进

3、行推理、验证，所用方法和第(1)问所用方法相似，可借鉴原结论方法，并进行拓展，只要沿着这样的思路进行即可解决满分变式必练1.已知ABC 中，ABAC，BC6.点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动，同时点 Q 从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动，点 P，Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D.(1)如图 1，过点 P 作 PFAQ 交 BC 于点 F，求证：PDFQDC；(2)如图 2，当点 P 为 AB 的中点时，求 CD 的长；(3)如图 3，过点 P 作 PEBC 于点 E，在点 P 从点 B 向点 A 移动的过程中，线段 DE 的长度是否保持不变？若保持不变，请求

4、出 DE 的长度，若改变，请说明理由解：(1)ABAC，BACB.PFAC，PFBACB. BPFB.BPFP.由题意，得 BPCQ，FPCQ.PFAC，DPFDQC.又PDFQDC，PDFQDC.(2)如图，过点 P 作 PFAC 交 BC 于点 F.点 P 为 AB 的中点，2.如图 1，ABC 中，ABC45，AHBC 于点 H，点 D 在 AH 上，且 DHCH，连接 BD.(3)线段 DE 的长度保持不变如图，过点 P 作 PFAC 交 BC 于点 F.由(1)知，PBPF.PEBC，BEEF.由(1)知，PDFQDC，CDDF.3(1)求证：BDAC；(2)将BHD 绕点 H 顺时

5、针旋转，得到EHF(点 B，D 分别与点 E，F 对应)，连接 AE.如图 2，当点 F 落在 AC 上时(F 不与 C 重合)，若 BC4，tanC3，求 AE 的长；如图 3，当EHF 是由BHD 绕点 H 逆时针旋转 30得到时，设射线 CF 与 AE 相交于点G，连接 GH，试探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系，并说明理由解：(1)在 RtAHB 中，ABC45，AHBH.在BHD 和AHC 中，BHDAHC(SAS)BDAC.(2)在 RtAHC 中，tanC3，设 CHx，则 BHAH3x.BC4，3xx4.x1.AH3，CH1.由旋转，知EHFBHDAHC90，EHAH

6、3，FHDHCH1，EHAFHC.EAHC.tanEAHtanC3.如图，过点 H 作 HPAE 于点 P，HP3AP，AE2AP.在 RtAHP 中，AP 2HP 2AH 2，AP 2(3AP) 29. EF2GH.理由如下：设 AH 与 CG 交于点 Q，由知，AEH 和FHC 都为等腰三角形又旋转角为 30，FHDBHE30.EHAFHC120.HCGGAH30.AGQCHQ.AGQCHQ90.又GQHAQC，GQHAQC.3.教材改编题(1)问题发现：如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同4一直线上，连接 BE，则AEB 的度数为_，线段 AD，BE 之间的关

7、系为_；(2)拓展探究：如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E 在同一直线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE.请判断AEB 的度数，并说明理由；当 CM5 时，AC 比 BE 的长度多 6 时，求 AE 的长解：(1)60 相等(2)AEB90.理由如下：ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD 和BCE 中，ACDBCE(SAS)ADBE，ADCBEC.DCE 为等腰直角三角形，CDECED45.点 A，D，E 在同一直线上，ADC135，BEC135.AEBBECCED90.在

8、等腰 RtDCE 中，DCE90，CMDE，则有 DMCMME5.在 RtACM 中，AM 2CM 2AC 2.设 BEADx，则 AC6x.(x5) 25 2(x6) 2，解得 x7.AEADDMME17.类型 2 关于四边形的变式拓展问题【例 2】如图 1，在ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，可以得到：DEBC，且 DE (不需要证明)【探究】如图 2，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，判断四边形 EFGH 的形状，并加以证明【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形 ABCD 中，满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？

9、你添加的条件是： .(只添加一个条件)(2)如图 3，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，对角线AC，BD 相交于点 O.若 AOOC，四边形 ABCD 面积为 5，则阴影部分图形的面积和为 .5【思路分析】 【探究】利用三角形的中位线定理可得出 EFHG，EFGH，继而可判断出四边形 EFGH 的形状 【应用】(1)同【探究】的方法判断出 即可判断出 EFFG，即可得出结论；(2)先判断出 SBCD 4S CFG ，同理：S ABD 4S AEH ，进而得出 再判断出 OMON，进而得出解：【探究】四边形 EFGH 是平行四边形证明：如图 1，

10、连接 AC.E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，EFAC，综上，EFHG，EFHG.故四边形 EFGH 是平行四边形【应用】(1)添加 ACBD.理由：连接 AC，BD，ACBD，EFFG.又四边形 EFGH 是平行四边形，EFGH 是菱形故答案为：ACBD.(2)如图 2，由【探究】 ，得四边形 EFGH 是平行四边形F，G 分别是 BC，CD 的中点，S BCD 4S CFG .同理，S ABD 4S AEH .四边形 ABCD 面积为 5，设 AC 与 FG，EH 相交于点 M，N，EF 与 BD 相交于点 P.OAOC，OMON.6易知，四边形 ENOP，FMOP 是面积相等的

11、平行四边形满分技法此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解【探究】的关键是判断出 解【应用】的关键是判断出 是一道基础题目满分变式必练1.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图 1，我们把一个四边形 ABCD 的四边中点E，F，G，H 依次连接起来得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接 AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图 1 中四边形 ABCD 的形状(如图 2)，则四边形 EFGH 还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题；(2)如图 2，在(1)

12、的条件下，若连接 AC，BD.当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形，写出结论并证明；当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是矩形，直接写出结论解：(1)四边形 EFGH 是平行四边形，理由如下：如图，连接 AC，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，EFHG，EFHG.故四边形 EFGH 是平行四边形(2)当 ACBD 时，四边形 EFGH 为菱形理由如下：由(1)知，四边形 EFGH 是平行四边形，当 ACBD 时，FGHG.EFGH 是菱形当 ACBD 时，四边形 EFGH 为矩形2.如图 1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折

13、叠，顶点 C 落到点 E 处，BE 交 AD 于点 F.7(1)求证：BDF 是等腰三角形；(2)如图 2，过点 D 作 DGBE，交 BC 于点 G，连接 FG 交 BD 于点 O.判断四边形 BFDG 的形状，并说明理由；若 AB6，AD8，求 FG 的长解：(1)证明：根据折叠的性质，得DBCDBE.又 ADBC，DBCADB，DBEADB，DFBF，BDF 是等腰三角形(2)四边形 ABCD 是矩形，ADBC.FDBG.又DGBE，即 DGBF，四边形 BFDG 是平行四边形DFBF，四边形 BFDG 是菱形AB6，AD8，假设 DFBFx，AFADDF8x.在 RtABF 中，AB

14、2AF 2BF 2，即 62(8x) 2x 2.3.如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点，且 CEBF.连接 DE，过点E 作 EGDE，使 EGDE，连接 FG，FC.(1)请判断：FG 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断8解：(1)FGCE FGCE(2)成立证明：如图，过点 G 作 GHCB 的延

15、长线于点 H，EGDE，GEHDEC90.GEHHGE90，DECHGE.在HGE 与CED 中，HGECED(AAS)GHCE，HECD.CEBF，GHBF.GHBF，四边形 GHBF 是平行四边形FGBH，FGCH.FGCE.四边形 ABCD 是正方形，CDBC.HEBC.HEEBBCEB.BHEC.FGEC.(3)仍然成立类型 3 关于圆的变式拓展问题【例 3】如图 1 至图 4 中，两平行线 AB，CD 间的距离均为 6，点 M 为 AB 上一定点思考如图 1，圆心为 O 的半圆形纸片在 AB，CD 之间(包括 AB，CD)，其直径 MN 在 AB 上，MN8，点 P 为半圆上一点，设

16、MOP.当 度时，点 P 到 CD 的距离最小，最小值为 .探究一在图 1 的基础上，以点 M 为旋转中心，在 AB，CD 之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图 2，得到最大旋转角BMO 度，此时点 N 到 CD 的距离是 .探究二将图 1 中的扇形纸片 NOP 按下面对 的要求剪掉，使扇形纸片 MOP 绕点 M 在 AB，CD 之间顺时针旋转(1)如图 3，当 60时，求在旋转过程中，点 P 到 CD 的最小距离，并请指出旋转角BMO 的最大值；(2)如图 4，在扇形纸片 MOP 旋转过程中，要保证点 P 能落在直线 CD 上，请确定 的取值范围9【思路分析】在“思考”的图 1

17、 中，当 OPCD 时，点 P 到 CD 的距离最小；在“探究一”的图 2 中，半圆形纸片不能再转动时，O 与 CD 相切于点 Y；在“探究二”的图 3 中，当PMAB 时，点 P 到 CD 的距离最小；当 与 AB 相切时，旋转角BMO 的度数最大图 4 中，当弦 MP6 时， 取最小值；当 与 CD 相切于点 P 时，即半径OPCD 于点 P 时， 取最大值解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当 90 度时，点 P 到 CD 的距离最小MN8，OP4.点 P 到 CD 的距离最小值为 642.故答案为：90,2.探究一：以点 M 为旋转中心，在 AB，CD 之间顺时针旋转该

18、半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图 1，MN8，MO4，OY4.UO2.得到最大旋转角BMO30 度，此时点 N 到 CD 的距离是 2.故答案为：30,2.探究二：(1)由已知得 M 与 P 的距离为 4，当 MPAB 时，点 P 到 AB 的最大距离为 4，从而点 P 到 CD 的最小距离为 642.当扇形MOP 在 AB，CD 之间旋转到不能再转时， 与 AB 相切，此时旋转角最大，BMO 的最大值为 90.(2)如图 2，由探究一可知，点 P 是 与 CD 的切点时， 达到最大，即 OPCD.此时延长 PO 交 AB 于点 H， 最大值为OMHOHM3090120.如图 3，当点 P

19、 在 CD 上且与 AB 距离最小时，MPCD， 达到最小，连接 MP，作 OHMP 于点 H，由垂径定理，得 MH3，在 RtMOH 中，MO4，MOH49. 2MOH98， 最小为 98. 的取值范围是 98120.满分技法在拓展变化的图形中求最值(比如最大(小)距离，角的最大(小)度数，线段的最大(小)长度等)，关键是确定相关图形的特殊位置；确定几何图形中角度的取值范围，要考查它的最大角度和最小角度两种极端情况另外，几何直观与生活经验的积累与训练也是图 1图 2图 310不容忽视的，本题中很多结论如果用纯粹的数学原理严格论证起来，是很困难的，比如“思考”中，为什么 OPAB 时点 P 到

20、 CD 的距离最小？“探究一”中，怎样说明半圆形纸片不能再转动时，O 与 CD 相切于点 P？“探究二”(1)中，为什么 MPAB 时点 P 到 CD 的距离最小？为什么当 与 CD 相切于点 P 时，旋转角BMO 的度数最大？(2)中，为什么当弦 MP6 时， 取最小值；为什么当半径 OPCD 于点 P 时， 取最大值？对于这些问题，在考场上是没有时间、也没有必要深究的，其结论的得出主要依靠几何直观与生活经验满分变式必练1.如图 1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边 AB 和量角器的直径 DE 在一条直线上，ACB90，BAC30，OD3cm，开始的时候 BD1cm，现在三角板以2

21、cm/s 的速度向右移动(1)当点 B 与点 O 重合时，求三角板运动的时间；(2)三角板继续向右运动，当 B 点和 E 点重合时，AC 与半圆相切于点 F，连接 EF，如图 2所示求证：EF 平分AEC；求 EF 的长解：(1)当点 B 与点 O 重合时，BOODBD4(cm)，三角板运动的时间为 2s.(2)证明：如图，连接点 O 与切点 F，则 OFAC.ACE90，ECAC.OFCE.OFECEF.OFOE，OFEOEF.OEFCEF，即 EF 平分AEC.由知，OFAC.AFO 是直角三角形BAC30，OFOD3cm，2.如图所示，点 A 为半圆 O 直径 MN 所在直线上一点，射线

22、 AB 垂直于 MN，垂足为 A，半圆绕 M 点顺时针转动，转过的角度记作 ；设半圆 O 的半径为 R，AM 的长度为 m，回答下列问题：探究：(1)若 R2，m1，如图 1，当旋转 30时，圆心 O到射线 AB 的距离是 .如图 2，当 时，半圆 O 与射线 AB 相切；11(2)如图 3，在(1)的条件下，为了使得半圆 O 转动 30即能与射线 AB 相切，在保持线段AM 长度不变的条件下，调整半径 R 的大小，请你求出满足要求的 R，并说明理由；发现：(3)如图 4，在 090时，为了对任意旋转角都保证半圆 O 与射线 AB 能够相切，小明探究了 cos 与 R，m 两个量的关系，请你帮

23、助他直接写出这个关系；cos ；(用含有 R，m 的代数式表示)拓展：(4)如图 5，若 Rm，当半圆弧线与射线 AB 有两个交点时， 的取值范围是 ，并求出在这个变化过程中阴影部分(弓形)面积的最大值(用 m 表示)解：(1)如图 1，作 OEAB 于点 E，MFOE 于点 F，则四边形 AMFE 是矩形，EFAM1.在 RtMFO中，MOF30，MO2，如图 2，设切点为 F，连接 OF，作 OEOA 于点 E，则四边形 OEAF 是矩形AEOF2.AM1，EM1.(2)如图 3，设切点为 P，连接 OP，作 MQOP，则四边形 APQM 是矩形在 RtOMQ 中，OMR，MOQ30，(3

24、)如图 4，设切点为 P，连接 OP，作 MQOP，则四边形 APQM 是矩形在 RtOQM 中，OQRcos，QPm.OPR，RcosmR. (4)如图 5，当半圆与射线 AB 相切时，此时 90，之后开始出现两个交点；当 N落在 AB 上时，为半圆与 AB 有两个交点的最后时刻，此时，MN2AM，AMN60.120.当半圆弧线与射线 AB 有两个交点时， 的取值范围是 90120.故答案为：90120.12当 N落在 AB 上时，阴影部分面积最大，3.如图 1 至图 5，O 均作无滑动滚动，O 1、O 2、O 3、O 4均表示O 与线段 AB 或BC 相切于端点时刻的位置，O 的周长为 C

25、.阅读理解：(1)如图 1，O 从O 1的位置出发，沿 AB 滚动到O 2的位置，当 ABc 时，O 恰好自转1 周；(2)如图 2，ABC 相邻的补角是 n，O 在ABC 外部沿 ABC 滚动，在点 B 处，必须由O 1的位置旋转到O 2的位置，O 绕点 B 旋转的角O 1BO2n，O 在点 B 处自实践应用：(1)在阅读理解的(1)中，若 AB2c，则O 自转 周；若 ABl，则O 自转 周在阅读理解的(2)中，若ABC120，则O 在点 B 处自转 周；若ABC60，则O 在点 B 处自转 周；(2)如图 3，ABC90， O 从O 1的位置出发，在 ABC 外部沿 ABC滚动到O 4的

26、位置，O 自转 周拓展联想：(1)如图 4，ABC 的周长为 l，O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发，在ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，O 自转了多少周？请说明理由；(2)如图 5，多边形的周长为 l，O 从与某边相切于点 D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点 D 的位置，直接写出O 自转的周数134.平面上，矩形 ABCD 与直径为 QP 的半圆 K 如图摆放，分别延长 DA 和 QP 交于点 O，且DOQ60，OQOD3，OP2，OAAB1.让线段 OD 及矩形 ABCD 位置固定，将线段OQ 连带

27、着半圆 K 一起绕着点 O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为 (060)发现(1)当 0，即初始位置时，点 P_直线 AB 上(填“在”或“不在”)求当 是多少时，OQ 经过点 B?(2)在 OQ 旋转过程中，简要说明 是多少时，点 P，A 间的距离最小？并指出这个最小值；(3)如图 2，当点 P 恰好落在 BC 边上时求 及 S 阴影拓展 如图 3，当线段 OQ 与 CB 边交于点 M，与 BA 边交于点 N 时，设 BMx(x0)，用含x 的代数式表示 BN 的长，并求 x 的取值范围图 1图 214解：发现(1)在当 OQ 过点 B 时，在 RtOAB 中，AOAB，得DOQABO45，

28、604515.故 15时，OQ 经过点 B.(2)如图 1，连接 AP，有 OAAPOP，当 OP 过点 A，即 60时，等号成立APOPOA211.当 60时，点 P，A 间的距离最小PA 的最小值为 1.(3)如图 1，设半圆 K 与 PC 交点为 R，连接 RK，过点 P 作 PHAD 于点 H，过点 R 作 REKQ于点 E.在 RtOPH 中，PHAB1，OP2，POH30.603030.由 ADBC 知，RPQPOH30.RKQ23060.拓展OANMBN90，ANOBNM，AONBMN.15探究半圆与矩形相切，分三种情况：如图 3，半圆 K 与 BC 切于点 T，设直线 KT 与 AD 和 OQ 的初始位置所在直线分别交于点S，O，则KSOKTB90，作 KGOO于点 G.在 RtOSK 中，