1、1第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测一、选择题1.已知 i 是虚数单位, a,bR,则“ a=b=1”是“( a+bi)2=2i”的( ).A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】当 a=b=1 时,( a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,( a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则 a2-b2=0,2ab=2,解得 a=1,b=1 或 a=-1,b=-1,故“ a=1,b=1”是“( a+bi)2=2i”的充分不必要条件,选 A.【答案】A2.复数 =a+bi(a,bR,i 是虚数单位),则 a2-b2的值为( ).(1-2)2A.
2、0 B.1 C.2 D.-1【解析】 = =-i=a+bi,所以 a=0,b=-1,所以 a2-b2=0-1=-1.(1-2)21-2+22【答案】D3.复数 z= (mR,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ).-21+2A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】 z= = =-21+2 (-2)(1-2)(1+2)(1-2),其实部为 (m-4),虚部为 - (m+1),15(-4)-2(+1) 15 25由 得 此时无解 .-40,-2(+1)0, 4,0,且 3-m0.故 m=1 .2 2 221.(1)已知复数 z 在复平面内对应的点在第四象限, |z|
3、=1,且 z+ =1,求实数 z 的值;(2)已知复数 z= -(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数 m 的值 .521-2【解析】(1)设 z=a+bi(a,bR),由题意得 解得2+2=1,2=1, =12,= 32. 复数 z 在复平面内对应的点在第四象限, b=- .32z= - i.12 32(2)z= -(1+5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+(2m2-5m-3)i,依题意, m2-m-6=0,解得 m=3 或 m=-521-22. 2m2-5m-30, m 3, m=- 2.22.已知 z1=x+yi, =x-yi(x,yR)且 x2+y2=1,z2=(3+4i)
4、z1+(3-4i) .-1 -1(1)求证: z2R .(2)求 z2的最大值和最小值 .【解析】(1) z 1=x+yi, =x-yi(x,yR),-1z 1+ =2x,z1- =2yi.-1 -1z 2=(3+4i)z1+(3-4i) =3(z1+ )+4i(z1- )=6x+8yi2=6x-8y,z 2R .-1 -1 -1(2)x 2+y2=1, 设 x=cos ,y=sin , R,z 2=6cos -8sin .令 sin = ,cos = ,35 45z 2=10sin cos -10cos sin =10sin( - ).- 1sin( - )1,- 10 z210,即 z2的最大值为 10,最小值为 -10.
