备战2019高考数学大二轮复习专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练18直线与圆锥曲线理.doc

1、1专题能力训练 18 直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C: =1(ab0)的左焦点, A,B 分别为 C 的左、右顶点 .P 为 C 上22+22一点,且 PF x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 ( )A. B. C. D.2.已知双曲线 =1(a0,b0)的离心率为 ,则抛物线 x2=4y 的焦点到双曲线的渐近线的距离22225是( )A. B. C. D.510 55 255 4553.如果与抛物线 y2=8x 相切倾斜角为 135的直线 l 与 x 轴

2、和 y 轴的交点分别是 A 和 B,那么过 A,B两点的最小圆截抛物线 y2=8x 的准线所得的弦长为( )A.4 B.2 C.2 D.2 24.(2018 全国 ,理 11)已知双曲线 C: -y2=1,O 为坐标原点, F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两23条渐近线的交点分别为 M,N.若 OMN 为直角三角形,则 |MN|= ( )A. B.3 C.2 D.435.平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: =1(a0,b0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p0)交于点2222O,A,B.若 OAB 的垂心为 C2的焦点,则 C1的离心率为 . 6.(2018 全国

3、,理 19)设椭圆 C: +y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点 M 的坐22标为(2,0) .(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;(2)设 O 为坐标原点,证明: OMA= OMB.7.2如图,已知抛物线 x2=y,点 A ,B ,抛物线上的点 P(x,y) .过点 B 作直线 AP(-12,14) (32,94) (-12b0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0), OAB 的面积为 1.22+22 32(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x

4、 轴交于点 N,求证: |AN|BM|为定值 .39.(2018 全国 ,理 19)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A,B两点, |AB|=8.(1)求 l 的方程 .(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .二、思维提升训练10.(2018 全国 ,理 16)已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A,B 两点,若 AMB=90,则 k= . 11.定长为 3 的线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,动点 P 满足 =2 .(1)求点 P

5、 的轨迹曲线 C 的方程;(2)若过点(1,0)的直线与曲线 C 交于 M,N 两点,求 的最大值 .12.设圆 x2+y2+2x-15=0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合, l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明 |EA|+|EB|为定值,并写出点 E 的轨迹方程;(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .413.(2018 全国 ,理 20)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C: =1

6、交于 A,B 两点,线段 AB 的中点24+23为 M(1,m)(m0).(1)证明: k0,分别令 x=-c 与 x=0,得 |FM|=k(a-c),|OE|=ka.设 OE 的中点为 G,由 OBG FBM,得 ,12|=|即 ,整理 ,得 ,2(-)= + =13故椭圆的离心率 e= ,故选 A.132.B 解析 抛物线 x2=4y 的焦点为(0,1),双曲线 =1 (a0,b0)的离心率为 ,所以22225=2,双曲线的渐近线为 y=x=2x,则抛物线 x2=4y 的焦点到双曲线的渐近=2-22 =2-1线的距离是 故选 B.11+4=55.3.C 解析 设直线 l 的方程为 y=-x

7、+b,联立直线与抛物线方程,消元得 y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以 = 82-4(-8b)=0,解得 b=-2,故直线 l 的方程为 x+y+2=0,从而 A(-2,0),B(0,-2).因此过 A,B 两点的最小圆即为以 AB 为直径的圆,其方程为( x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,此时圆心( -1,-1)到准线的距离为 1,故所截弦长为 2 =2.(2)2-124.B 解析 由条件知 F(2,0),渐近线方程为 y= x,所以 NOF= MOF=30, MON=6090 .33不妨设 OMN=90,则 |MN|= |OM|.3又

8、 |OF|=2,在 Rt OMF 中, |OM|=2cos 30= ,所以 |MN|=3.35 解析 双曲线的渐近线为 y=x.由 得 A.32 =,2=2, (2,222).由 得 B=-,2=2, (-2,222).6F 为 OAB 的垂心, k AFkOB=-1.(0,2)即 =-1,解得 ,222 -22 -0(-) 22=54,即可得 e=22=94 32.6.解 (1)由已知得 F(1,0),l 的方程为 x=1.由已知可得,点 A 的坐标为 (1,22)或 (1,- 22).所以 AM 的方程为 y=- x+ 或 y= x-22 2 22 2.(2)当 l 与 x 轴重合时, O

9、MA= OMB=0,当 l 与 x 轴垂直时, OM 为 AB 的垂直平分线,所以 OMA= OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1)(k0), A(x1,y1),B(x2,y2),则 x10).设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=(-1),2=4 = 16k2+160,故 x1+x2=22+42 .所以 |AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=42+42 .由题设知 =8,解得 k=-1(舍去), k=1.42+42因此 l 的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(

10、3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为( x0,y0),则0=-0+5,(0+1)2=(0-0+1)22 +16.解得 0=3,0=2或 0=11,0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或( x-11)2+(y+6)2=144.二、思维提升训练10.2 解析 设直线 AB:x=my+1,联立 y2-4my-4=0,=+1,2=4 y1+y2=4m,y1y2=-4.而 =(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1). AMB=90,=(my1+2)(my

11、2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m= k= =2.12. 1911.解 (1)设 A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),由 =2 得( x,y-y0)=2(x0-x,-y),即=2(0-),-0=-20=32,0=3.因为 =9,所以 +(3y)2=9,化简,得 +y2=1,20+20 (32)2 24所以点 P 的轨迹方程为 +y2=1.24(2)当过点(1,0)的直线为 y=0 时, =(2,0)(-2,0)=-4,当过点(1,0)的直线不为 y=0 时,可设为

12、x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立 并化简,得( t2+4)y2+2ty-3=0,24+2=1,=+1由根与系数的关系得 y1+y2=- ,y1y2=- ,22+4 32+4=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1) +t +1=-32+4 -22+4=-4+-42+12+4 =-4(2+4)+172+4 172+4.又由 = 4t2+12(t2+4)=16t2+480 恒成立,所以 tR,对于上式,当 t=0 时,( )max=14.综上所述, 的最大值为14.12.解 (1)因为 |AD|=|A

13、C|,EB AC,故 EBD= ACD= ADC.所以 |EB|=|ED|,故 |EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆 A 的标准方程为( x+1)2+y2=16,从而 |AD|=4,所以 |EA|+|EB|=4.由题设得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为 =1(y0) .24+23(2)当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为y=k(x-1)(k0), M(x1,y1),N(x2,y2),由=(-1),24+23=1得(4 k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则 x1+x2= ,x1x2= ,8242+3 42-124

14、2+3所以 |MN|= |x1-x2|=1+212(2+1)42+3 .10过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m:y=- (x-1),A 到 m 的距离为 ,1 22+1所以 |PQ|=2 =442-( 22+1)2 42+32+1.故四边形 MPNQ 的面积S= |MN|PQ|=1212 1+ 142+3.可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 ).3当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形 MPNQ 的面积为 12.综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8 ).313.解 (1)设 A(x1,y1),

15、B(x2,y2),则 =1, =1.214+213 224+223两式相减,并由 =k 得 k=0.1-21-2 1+24 +1+23 由题设知 =1, =m,于是 k=- 1+22 1+22 34.由题设得 0m ,故 k-32 12.(2)由题意得 F(1,0).设 P(x3,y3),则( x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得 x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.又点 P 在 C 上,所以 m= ,34从而 P ,| |=(1,-32) 32.于是 | |= (1-1)2+21= =2-(1-1)2+3(1-214) 12.同理 | |=2-22.所以 | |+| |=4- (x1+x2)=3.12故 2| |=| |+| |,则 | |,| |,| |成等差数列, 设该数列的公差为 d,则 2|d|=| |-| |= |x1-x2|= 12 12(1+2)2-412.将 m= 代入 得 k=-1.34所以 l 的方程为 y=-x+ ,代入 C 的方程,并整理得 7x2-14x+ =0.74 14故 x1+x2=2,x1x2= ,代入 解得 |d|=128 32128.所以该数列的公差为 或 -32128 32128.