安徽省青阳县第一中学2018_2019学年高二数学10月月考试题.doc

1、- 1 -20182019学年第一学期高二 10月份月考数学试题一、选择题（本大题共 12小题，共 60.0分）1.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ）A. 17B. 18C. 20D. 282.已知 m， n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若 m， n，则 m n B. 若 m， n，则 m nC. 若 m， m n，则 n D. 若 m， m n，则 n3.如图，在下列四个正方体中， A， B为正方体的两个顶点， M， N， Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面 MNQ不平

2、行的是（ ）A. B. C. D. 4.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中， ABC=120， AB=2， BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 5.已知 ， 是相异两平面， m， n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ）- 2 -A. 若 m n， m，则 n B. 若 m， m，则 C. 若 m，= n，则 m n D. 若 m， m，则 6.体积为 8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A. B. C. D. 7.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线 AB与 CD的位置关系为( ) A. 相交B. 平行C

3、. 异面而且垂直D. 异面但不垂直8.正四面体 ABCD中， M是棱 AD的中点， O是点 A在底面 BCD内的射影，则异面直线 BM与 AO所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 9.四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD为正方形， PA底面 ABCD， AB=2， PA= ，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. 65 D. 10.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 20 B. 24 C. 28 D. 3211.已知 m， n为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）- 3 -（1） m，

4、 n， m， n （2） n m， n m （3）， m， n m n （4） m， m nnA. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个12.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分）13.圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 的扇形，则这个圆锥的高是_14.， 是两个平面， m， n是两条直线，有下列四个命题：如果 ， m，那么 m；若 m， m n，则 n；如果 m， n，那么 m n；如果 m n， m， n，那么 其中正确的命题有_； （填写所有正确命题的编号）15.如图，在直三棱柱 ABC-A

5、1B1C1中，若四边形 AA1C1C是边长为 4的正方形，且AB=3， BC=5， M是 AA1的中点，则三棱锥 A1-MBC1的体积为_ - 4 -16.已知正方体 的棱长为 1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M(如图)，则四棱锥 的体积为_. 三、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分）17. （本小题满分 10分）如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长 2的正方形， E， F分别为线段DD1， BD的中点（1）求证： EF平面 ABC1D1；（2） AA1=2 ，求异面直线 EF与 BC所成的角的大小18. （本小题满分

6、 12分）如图，在三棱锥 P-ABC中， D， E， F分别为棱 PC， AC， AB的中点，已知PA AC， PA=6， BC=8， DF=5求证：（1）直线 PA平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC- 5 -19. （本小题满分 12分）如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， CA=CB，点 M， N分别是 AB， A1B1的中点（1）求证： BN平面 A1MC；（2）若 A1M AB1，求证： AB1 A1C20.（本小题满分 12分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 M， N分别为线段 A1B， B1C的中点（1）求证： MN平面 AA1C1C；（2）若 A

7、BC=90， AB=BC=2， AA1=3，求点 B1到面 A1BC的距离21.（本小题满分 12分）- 6 -如图，在三棱锥 P-ABC中， PA AB， PA BC， AB BC， PA=AB=BC=2， D为线段 AC的中点，E为线段 PC上一点（1）求证： PA BD；（2）求证：平面 BDE平面 PAC；（3）当 PA平面 BDE时，求三棱锥 E-BCD的体积22.（本小题满分 12分）如图，在四棱锥 P-ABCD中， AD平面PDC， AD BC， PD PB， AD=1， BC=3， CD=4， PD=2（）求异面直线 AP与 BC所成角的余弦值；（）求证： PD平面 PBC；（

8、）求直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值高二月考试卷【答案】1. A 2. B 3. A 4. C 5. C 6. A 7. D8. B 9. B 10. C 11. B 12. A13. 2 14. 15. 4 16. 17. 证明：（1）连结 BD1， 在 DD1B中， E、 F分别是 D1D、 DB的中点， EF是 DD1B的中位线，- 7 - EF D1B， D1B平面 ABC1D1， EF平面 ABC1D1， EF平面 ABC1D1解：（2） AA1=2 ， AB=2， EF BD1， D1BC是异面直线 EF与 BC所成的角（或所成角的补角），在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D

9、1中， BC平面 CDD1C1， CD1平面 CDD1C1， BC CD1在 Rt D1C1C中， BC=2， CD1=2 ， D1C BC，tan D1BC= ， D1BC=60，异面直线 EF与 BC所成的角的大小为 60 18. 证明：（1） D、 E为 PC、 AC的中点， DE PA，又 PA平面 DEF， DE平面 DEF， PA平面 DEF；（2） D、 E为 PC、 AC的中点， DE= PA=3；又 E、 F为 AC、 AB的中点， EF= BC=4； DE2+EF2=DF2， DEF=90， DE EF； DE PA， PA AC， DE AC； AC EF=E， DE平面

10、 ABC； DE平面 BDE，平面 BDE平面 ABC 19. 证明：（1）因为 ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以 AB A1B1，且 AB=A1B1，又点 M， N分别是 AB、 A1B1的中点，所以 MB=A1N，且 MB A1N所以四边形 A1NBM是平行四边形，从而 A1M BN 又 BN平面 A1MC， A1M平面 A1MC，所以 BN平面 A1MC；（2）因为 ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以 AA1底面 ABC，而 AA1侧面 ABB1A1，所以侧面 ABB1A1底面 ABC又 CA=CB，且 M是 AB的中点，所以 CM AB- 8 -则由侧面 ABB1A1底面 ABC

11、，侧面 ABB1A1底面 ABC=AB，CM AB，且 CM底面 ABC，得 CM侧面 ABB1A1又 AB1侧面 ABB1A1，所以 AB1 CM 又 AB1 A1M， A1M、 MC平面 A1MC，且 A1M MC=M，所以 AB1平面 A1MC 又 A1C平面 A1MC，所以 AB A1C 20. （1）证明：连接 BC1，四边形 BCC1B1是平行四边形， N是 B1C的中点， N是 BC1的中点，又 M是 A1B的中点， MN A1C1，又 A1C1平面 AA1C1C， MN平面 AA1C1C， MN平面 AA1C1C（2）解： AB BC， BB1 BC， AB BB1=B， BC

12、平面 ABB1A1， V = S BC= =2，又 A1B= = ， S = = 设 B1到平面 A1BC的距离的距离为 h，则 V = h= ， V =V ，2= ， h= 点 B1到面 A1BC的距离为 21. 解：（1）证明：由 PA AB， PA BC，AB平面 ABC， BC平面 ABC，且 AB BC=B，可得 PA平面 ABC，由 BD平面 ABC，可得 PA BD；（2）证明：由 AB=BC， D为线段 AC的中点，可得 BD AC，由 PA平面 ABC， PA平面 PAC，可得平面 PAC平面 ABC，又平面 PAC平面 ABC=AC，- 9 -BD平面 ABC，且 BD A

13、C，即有 BD平面 PAC，BD平面 BDE，可得平面 BDE平面 PAC；（3） PA平面 BDE， PA平面 PAC，且平面 PAC平面 BDE=DE，可得 PA DE，又 D为 AC的中点，可得 E为 PC的中点，且 DE= PA=1，由 PA平面 ABC，可得 DE平面 ABC，可得 S BDC= S ABC= 22=1，则三棱锥 E-BCD的体积为 DES BDC= 11= 22. 解：（）如图，由已知 AD BC，故 DAP或其补角即为异面直线 AP与 BC所成的角因为 AD平面 PDC，所以 AD PD在 Rt PDA中，由已知，得 ，故 所以，异面直线 AP与 BC所成角的余弦

14、值为 （）证明：因为 AD平面 PDC，直线 PD平面 PDC，所以 AD PD又因为 BC AD，所以 PD BC，又 PD PB，所以 PD平面 PBC（）解：过点 D作 AB的平行线交 BC于点 F，连结 PF，则 DF与平面 PBC所成的角等于 AB与平面 PBC所成的角因为 PD平面 PBC，故 PF为 DF在平面 PBC上的射影，- 10 -所以 DFP为直线 DF和平面 PBC所成的角由于 AD BC， DF AB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BC-BF=2又因为 AD DC，故 BC DC，在 Rt DCF中，可得 所以，直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值为 【解

15、析】1. 解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉其中 后的几何体，如图：可得： = ， R=2- 11 -它的表面积是： 42 2+ =17故选 A判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力2. 【分析】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型A运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B运用线面垂直的性质，即可判断； C运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断； D

16、运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断【解答】解： A若 m， n，则 m， n相交或平行或异面，故 A错；B若 m， n，则 m n，故 B正确；C若 m， m n，则 n 或 n，故 C错；D若 m， m n，则 n 或 n 或 n与 相交，故 D错故选 B3. 【分析】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题利用线面平行判定定理可知 B、 C、 D均不满足题意，从而可得答案【解答】解：对于选项 B，由于 AB MQ，结合线面平行判定定理可知 B不满足题意；对于选项 C，由于 AB MQ，结合线面平行判定定理可知 C不满足

17、题意；对于选项 D，由于 AB NQ，结合线面平行判定定理可知 D不满足题意；所以选项 A满足题意，故选 A- 12 -4. 解：【解法一】如图所示，设 M、 N、 P分别为AB， BB1和 B1C1的中点，则 AB1、 BC1夹角为 MN和 NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0， ），可知 MN= AB1= ，NP= BC1= ；作 BC中点 Q，则 PQM为直角三角形； PQ=1， MQ= AC， ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos ABC=4+1-221（- ）=7， AC= ， MQ= ；在 MQP中， MP= = ；在 PMN中，由余弦定理得cos M

18、NP= = =- ；又异面直线所成角的范围是（0， ， AB1与 BC1所成角的余弦值为 【解法二】如图所示，- 13 -补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1，求 BC1D即可；BC1= ， BD= = ，C1D= ， +BD2= ， DBC1=90，cos BC1D= = 故选： C【解法一】设 M、 N、 P分别为 AB， BB1和 B1C1的中点，得出 AB1、 BC1夹角为 MN和 NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出 AC、 MQ， MP和 MNP的余弦值即可【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问

19、题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题5. 【解答】在 A中：若 m n， m，则由直线与平面垂直的判定定理得 n，故 A正确；在 B中：若 m， m，则由平面与平面平行的判定定理得 ，故 B正确；在 C中：若 m，= n，则 m与 n平行或异面，故 C错误；在 D中：若 m， m，则由平面与平面垂直的判定定理得 ，故 D正确故选： C【分析】在 A中，由直线与平面垂直的判定定理得 n；在 B中，由平面与平面平行的判定定理得 ；在 C中， m与 n平行或异面；- 14 -在 D中，由平面与平面垂直的判定定理得 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面

20、面间的位置关系的合理运用6. 【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题【解答】解：正方体体积为 8，可知其边长为 2，正方体的体对角线为 =2 ，即为球的直径，所以半径为 ，所以球的表面积为 =12故选： A7. 【分析】考查异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法，以及由正方体的平面展开图可以画出它对应的直观图根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图即可判断 AB， CD的位置关系【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出 AB与 CD异面；如图，设该正方体一顶点为 E，连

21、接 CE， DE，则 AB CE； DCE为异面直线 AB， CD的夹角，并且该角为 60； AB， CD异面但不垂直故选： D- 15 -8. 解：取 BC中点 E， DC中点 F，连结 DE、 BF，则由题意得 DE BF=O，取 OD中点 N，连结 MN，则 MN AO， BMN是异面直线 BM与 AO所成角（或所成角的补角），设正四面体 ABCD的棱长为 2，由BM=DE= ， OD= ， AO= = ， MN= ， O是点 A在底面 BCD内的射影， MN AO， MN平面 BCD，cos BMN= = = ，异面直线 BM与 AO所成角的余弦值为 故选： B取 BC中点 E， DC

22、中点 F，连结 DE、 BF，则由题意得 DE BF=O，取 OD中点 N，连结 MN，则MN AO，从而 BMN是异面直线 BM与 AO所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线BM与 AO所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四面体、线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题9. 解：四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD为正方形， PA底面 ABCD， AB=2， PA= ，连结 AC、 BD，交于点 E，则 E是 AC中点，取 PC中点 O，连接 OE，则 OE PA， OE平面 ABCD， O

23、到该四棱锥的所有顶点的距离相等，都为 ，- 16 - O是该四棱锥的外接的球心，该球半径 R= = = = ，该球的表面积为 S=4 = 故选： B连结 AC、 BD，交于点 E，则 E是 AC中点，取 PC中点 O，连接 OE，推导出 O是该四棱锥的外接的球心，球半径 R= ，由此能求出该球的表面积本题考查四面体的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养10. 【分析】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 2 ，

24、在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 2 ，在轴截面中圆锥的母线长是 =4，圆锥的侧面积是 24=8，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，圆柱表现出来的表面积是 2 2+224=20，空间组合体的表面积是 28，故选 C11. 【分析】由空间中的线面关系逐一核对四个命题得答案本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，是中档题【解答】解：对于（1）， m， n

25、， m， n，错误，当 m n时， 与 可能相交；- 17 -对于（2）， n m， n m，正确，原因是： n，则 n垂直 内的两条相交直线，又 m n，则 m也垂直 内的这两条相交直线，则 m；对于（3）， m， n m n，错误， m与 n可能异面；对于（4）， m， m nn，错误，也可能是 n 正确命题的个数是 1个故选 B12. 解：由几何体的三视图知，该几何体是四棱锥，且底面是直角梯形，且上、下底为 1和 2，高为 2；四棱锥的高是 1，所以该几何体的体积 V= =1，故选： A由几何体的三视图知该几何体是四棱锥，由三视图中数据求出四棱锥底面中、高对应的数据，代入椎体的体积公式求

26、解即可本题考查由三视图求几何体的体积，关键是对几何体正确还原，根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，再代入对应的公式进行求解，考查了空间想象能力13. 解：设此圆锥的底面半径为 r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2 r= ，r=1；圆锥的高为： =2 故答案为：2 利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长14. 解：由面面平行的性质定理可得：为真命题；可能 n，因此是假命题

27、；如果 m， n，那么 m n，是真命题；如果 m n， m，则 n 或 n，又 n，那么 与 相交或平行，因此是假命题- 18 -综上可得：只有是真命题故答案为：由面面平行的性质定理判定真假；可能 n，即可判断出真假；利用线面垂直的性质定理即可判断出真假；由已知可得 与 相交或平行，即可判断出真假本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15. 解：在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，若四边形 AA1C1C是边长为 4的正方形，且AB=3， BC=5， A1C1 AA1， AC2+AB2=BC2， A1C1 A1B1， AA1 A1B1=A1， A

28、1C1平面 A1MB， M是 AA1的中点， = = =3，三棱锥 A1-MBC1的体积：= = = =4故答案为：4推导出 A1C1平面 A1MB，从而三棱锥 A1-MBC1的体积 = ，由此能求出结果本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题16. 解：正方体的棱长为 1， M-EFGH的底面是正方形的边长为： ，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为 ，四棱锥 M-EFGH的体积： = 故答案为： 求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可本题考查几何体的

29、体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力- 19 -17. （1）连结 BD1，推导出 EF D1B，由此能证明 EF平面 ABC1D1（2）由 EF BD1，知 D1BC是异面直线 EF与 BC所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线 EF与 BC所成的角的大小本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题18. （1）由 D、 E为 PC、 AC的中点，得出 DE PA，从而得出 PA平面 DEF；（2）要证平面 BDE平面 ABC，只需证

30、DE平面 ABC，即证 DE EF，且 DE AC即可本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目19. （1）欲证明 BN平面 A1MC，只需推知 A1M BN；（2）根据直三棱柱的特征和线面垂直的判定与性质来证明线线垂直本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面间垂直、平行的判定、性质、定义是解答本题的关键20. （1）根据中位线定理可得 MN A1C1，故而 MN平面 AA1C1C；（2）根据 V =V 列方程求出点 B1到面 A1BC的距离本题考查了线面平行的判定，空间距离

31、的计算，属于中档题21. （1）运用线面垂直的判定定理可得 PA平面 ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面 BDE平面 PAC，可证 BD平面 PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面 PAC平面 ABC，再由等腰三角形的性质可得 BD AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得 PA DE，运用中位线定理，可得 DE的长，以及 DE平面ABC，求得三角形 BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定

32、定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题22. （）由已知 AD BC，从而 DAP或其补角即为异面直线 AP与 BC所成的角，由此能求出异面直线 AP与 BC所成角的余弦值（）由 AD平面 PDC，得 AD PD，由 BC AD，得 PD BC，再由 PD PB，得到 PD平面PBC- 20 -（）过点 D作 AB的平行线交 BC于点 F，连结 PF，则 DF与平面 PBC所成的角等于 AB与平面 PBC所成的角，由 PD平面 PBC，得到 DFP为直线 DF和平面 PBC所成的角，由此能求出直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值本题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题