江苏省2019高考数学二轮复习专题二立体几何第2讲立体几何的综合问题学案.doc

1、1第 2 讲 立体几何的综合问题考情考向分析 江苏高考对空间几何体体积的计算是高频考点，一般考查几何体的体积或体积之间的关系对翻折问题和探索性问题考查较少，但是复习时仍要关注热点一 空间几何体的计算例 1 (1)(2018江苏扬州中学模拟)已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为， D 为 BC 的中点，则三棱锥 A B1DC1的体积为_3答案 1解析 如图， 1ABDCV 1BDCSAAD13 2 1.13 12 3 3(2)已知圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 的扇形，那么这个圆锥的高为23_答案 2 2解析 设圆锥底面半径为 r，2则 2 r 3，23 r1，圆

2、锥的高为 2 .32 12 2思维升华 (1)涉及柱、锥及其简单组合的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，再分析几何体的结构特征，从而进行解题(2)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上跟踪演练 1 (1)(2018江苏盐城中学模拟)已知圆柱的底面半径为 1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_答案 6解析 S 圆柱 21 22126.(2)如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD3 cm， AA12 cm，则三棱锥 A B1D1D 的体积为_ cm 3.答案 3解析 方法一 长方体

3、ABCD A1B1C1D1中的底面 ABCD 是正方形连结 AC 交 BD 于 O，则 AC BD，又 D1D AC， BD D1D D， BD， D1D平面 B1D1D，所以 AC平面 B1D1D，AO 为 A 到平面 B1D1D 的垂线段，AO AC .12 322又 1BDSA D1DD1B1 23 3 ，12 12 2 2所以所求的体积 V 3 3 cm 3.13 322 2方法二 11ABDAD3 A1B1 1DS13 3 323 cm 3.13 12热点二 空间图形的翻折问题例 2 (2018江苏泰州中学调研)一副直角三角板按下面左图拼接，将 BCD 折起，得到三棱锥 A BCD(

4、下面右图)(1)若 E， F 分别为 AB， BC 的中点，求证： EF平面 ACD；(2)若平面 ABC平面 BCD，求证：平面 ABD平面 ACD.证明 (1) E， F 分别为 AB， BC 的中点， EF AC，又 EF平面 ACD， AC平面 ACD， EF平面 ACD.(2)平面 ABC平面 BCD， BC DC，平面 ABC平面 BCD BC， CD平面 BCD， DC平面 ABC，又 AB平面 ABC， DC AB，又 AB AC， AC CD C， AC平面 ACD， CD平面 ACD， AB平面 ACD，又 AB平面 ABD，平面 ABD平面 ACD.思维升华 平面图形经过

5、翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法跟踪演练 2 如图 1，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D， E 分别是 AB， AC 上的点，AD AE， F 是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点 G.将 ABF 沿 AF 折起，得到如图 2 所示的三棱锥A BCF，其中 BC .224(1)证明： DE平面 BCF；

6、(2)证明： CF平面 ABF.证明 (1)如图 1，在等边三角形 ABC 中， AB AC.因为 AD AE，所以 ，所以 DE BC，ADDB AEEC所以 DG BF.如图 2， DG平面 BCF， BF平面 BCF，所以 DG平面 BCF.同理可证 GE平面 BCF.因为 DG GE G， DG， GE平面 DEG，所以平面 DEG平面 BCF，又因为 DE平面 DEG，所以 DE平面 BCF.(2)证明 如图 1，在等边三角形 ABC 中， F 是 BC 的中点，所以 AF FC，所以 BF FC BC .12 12在图 2 中，因为 BC ，22所以 BC2 BF2 FC2，所以

7、BFC90，所以 FC BF，又 AF FC，因为 BF AF F， BF， AF平面 ABF，所以 CF平面 ABF.热点三 探索性问题例 3 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是棱 DD1的中点(1)证明：平面 ADC1B1平面 A1BE；(2)在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论(1)证明 因为 ABCD A1B1C1D1为正方体，所以 B1C1平面 ABB1A1.因为 A1B平面 ABB1A1，所以 B1C1 A1B.5又因为 A1B AB1， B1C1 AB1 B1， AB1， B1C1平面 ADC1B1，所以 A1B平面 A

8、DC1B1.因为 A1B平面 A1BE，所以平面 ADC1B1平面 A1BE.(2)解 当点 F 为 C1D1的中点时，可使 B1F平面 A1BE.证明如下：设 A1B AB1 O，连结 EO， EF， B1F.易知 EF C1D，且 EF C1D，12B1O C1D 且 B1O C1D，12所以 EF B1O 且 EF B1O，所以四边形 B1OEF 为平行四边形所以 B1F OE.又因为 B1F平面 A1BE， OE平面 A1BE.所以 B1F平面 A1BE.思维升华 探索性问题，一般把要探索的结论作为条件，然后根据条件和假设进行推理论证跟踪演练 3 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1

9、中， D 为棱 BC 上一点(1)若 AB AC， D 为棱 BC 的中点，求证：平面 ADC1平面 BCC1B1；(2)若 A1B平面 ADC1，求 的值BDDC(1)证明 因为 AB AC，点 D 为 BC 的中点，所以 AD BC.因为 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 BB1平面 ABC.因为 AD平面 ABC，所以 BB1 AD.因为 BC BB1 B， BC平面 BCC1B1， BB1平面 BCC1B1，6所以 AD平面 BCC1B1.因为 AD平面 ADC1，所以平面 ADC1平面 BCC1B1.(2)解 连结 A1C，交 AC1于点 O，连结 OD，所以 O 为 A1C 的

10、中点因为 A1B平面 ADC1， A1B平面 A1BC，平面 ADC1平面 A1BC OD，所以 A1B OD.因为 O 为 A1C 的中点，所以 D 为 BC 的中点，所以 1.BDDC1(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_答案 43解析 由题意知所给的几何体是棱长均为 的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥2组合而成的，正四棱锥的高为 1，所以这个八面体的体积为 2V 正四棱锥 2 ( )21 .13 2 432.(2017江苏)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O

11、的体积为 V2，则 的值是_V1V2答案 327解析 设球半径为 R，则圆柱底面圆半径为 R，母线长为 2R，又 V1 R22R2 R3， V2 R3，43所以 .V1V2 2 R343 R3 323(2018江苏南京师大附中模拟)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的各条棱长均为 2， D 为棱B1C1上任意一点，则三棱锥 D A1BC 的体积是_答案 233解析 11DABCABV 1 1SA .13 3 2334(2018全国)如图，在平行四边形 ABCM 中， AB AC3， ACM90.以 AC 为折痕将 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB DA.(1)证明：平面

12、ACD平面 ABC；(2)Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 BP DQ DA，求三棱锥 Q ABP 的体积23(1)证明 由已知可得， BAC90，即 BA AC.又 BA AD， AC AD A， AD， AC平面 ACD，所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC.(2)解 由已知可得，DC CM AB3， DA3 .2又 BP DQ DA，所以 BP2 .23 28如图，过点 Q 作 QE AC，垂足为 E，则 QE DC 且 QE DC.13由(1)知平面 ACD平面 ABC，又平面 ACD平面 ABC AC， CD AC， CD

13、平面 ACD，所以DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC， QE1.因此，三棱锥 Q ABP 的体积 VQ ABP S ABPQE 32 sin 4511.13 13 12 25.如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， AB DC， PAD 是等边三角形，已知AD4， BD4 ， AB2 CD8.3(1)设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD；(2)当 M 点位于线段 PC 什么位置时， PA平面 MBD?(1)证明 在 ABD 中， AD4， BD4 ， AB8，3 AD2 BD2 AB2， AD BD.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD

14、平面 ABCD AD， BD平面 ABCD， BD平面 PAD.又 BD平面 MBD，平面 MBD平面 PAD.(2)解 当 CM CP 时， PA平面 MBD.13证明如下：连结 AC，交 BD 于点 N，连结 MN.9 AB DC， AB CD，四边形 ABCD 是梯形 AB2 CD， CN NA12.又 CM MP12， CN NA CM MP， PA MN. MN平面 MBD， PA平面 MBD.A 组 专题通关1已知一个圆锥的底面积为 2，侧面积为 4，则该圆锥的体积为_答案 263解析 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则 r22， rl4，解得 r ， l2 ，故高 h ，2

15、 2 6所以 V r2h 2 .13 13 6 2632(2018江苏兴化一中模拟)在三棱锥 S ABC 中，直线 SA平面 ABC， SA1， ABC 的面积为 3，若点 G 为 ABC 的重心，则三棱锥 S AGB 的体积为_答案 13解析 VS AGB VS ABC 31 .13 13 13 133已知圆台的母线长为 4 cm，母线与轴的夹角为 30，上底面半径是下底面半径的 ，则12这个圆台的侧面积是_ cm 2.答案 24解析 如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知 AC4 cm， ASO30，O1C OA，1210设 O1C r，则 OA2 r，又 sin 30， SC2 r，

16、 SA4 r，O1CSC OASA AC SA SC2 r4 cm， r2 cm.圆台的侧面积为 S( r2 r)424(cm 2)4三棱锥 P ABC 中， D， E 分别为 PB， PC 的中点，记三棱锥 D ABE 的体积为 V1， P ABC的体积为 V2，则 _.V1V2答案 14解析 V1 VD ABE VE ABD VE ABP VA BEP VA BCP VP ABC V2.12 12 12 12 12 12 145.如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA1平面 ABCD，四边形 ABCD 为梯形， AD BC，且AD3 BC，过 A1， C， D 三点的平面记为

17、 ， BB1与平面 的交点为 Q，则 的值为B1QQB_答案 2解析 设 A1Q DC P，则点 P AB，因为 AD BC，且 AD3 BC，所以 ，BCAD BPAP 13又 BB1 AA1， BB1 AA1，所以 ，BPAP BQAA1 BQBB1 13从而 BB13 BQ，即 2.B1QQB6(2018南京金陵中学模拟)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 36，则这个球的体积为_答案 9 2解析 正方体的棱长为 ，6设球的半径为 R，则 2R ，3 6 R ，322 V 球 39 .43 (322) 2117已知正方形 ABCD 的边长为 2， E， F 分别

18、为 BC， DC 的中点，沿 AE， EF， AF 折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，则这个四面体的体积为_答案 13解析 以 AE， EF， AF 为折痕，折叠这个正方形，使点 B， C， D 重合于一点 P，得到一个四面体，如图所示在折叠过程中，始终有 AB BE， AD DF，即 AP PE， AP PF，且 PE PF P， PE， PF平面 PEF， AP平面 EFP.四面体的底面积为 S EFP PEPF，12高为 AP2.四面体 A EFP 的体积VA EFP 112 .13 12 138如图 1 所示是一种生活中常见的容器，其结构如图 2，其中 ABCD 是矩形，

19、ABFE 和 CDEF都是等腰梯形，且 AD平面 CDEF，现测得 AB20 cm， AD15 cm， EF30 cm， AB 与 EF 间的距离为 25 cm，则几何体 EF ABCD 的体积为_cm 3.答案 3 500解析 在 EF 上，取两点 M， N(图略)，分别满足 EM NF5，连结 DM， AM， BN， CN，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得 V 2015202 201553 500.12 13 12129.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB1， BC2， BB13， ABC90，点 D 为侧棱BB1上

20、的动点当 AD DC1最小时，三棱锥 D ABC1的体积为_答案 13解析 将侧面展开如图所示，所以由平面几何性质可得 AD DC1 AC1，当且仅当 A， D， C1三点共线时取到等号此时 BD1，所以 S ABD ABBD .12 12在直三棱柱 ABC A1B1C1中有 BB1 CB，又 AB CB，且 BB1 AB B， BB1， AB平面 ABD，所以 CB平面 ABD，所以 C1B1平面 ABD，即 C1B1是三棱锥 C1 ABD 的高，所以 VD ABC1 VC1 ABD C1B1S ABD 2 .13 13 12 1310.如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB CD，且 B

21、AP CDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PA PD AB DC， APD90，且四棱锥 P ABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面83积(1)证明 由已知 BAP CDP90，得 AB AP， CD PD.由于 AB CD，故 AB PD， AP PD P， AP， PD平面 PAD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.13(2)解 在平面 PAD 内作 PE AD，垂足为 E.由(1)知， AB平面 PAD，故 AB PE， AD AB A， AD， AB平面 ABCD，所以 PE平面 ABCD.设 AB x，则由已知可得 A

22、D x， PE x.222故四棱锥 P ABCD 的体积 VP ABCD ABADPE x3.13 13由题设得 x3 ，故 x2.13 83从而 PA PD2， AD BC2 ， PB PC2 .2 2可得四棱锥 P ABCD 的侧面积为 PAPD PAAB PDDC BC2sin 6062 .12 12 12 12 3B 组 能力提高11.如图，在圆锥 VO 中， O 为底面圆心，半径 OA OB，且 OA VO1，则 O 到平面 VAB 的距离为_答案 33解析 由题意可得三棱锥 V AOB 的体积为V 三棱锥 V AOB S AOBVO .13 16 VAB 是边长为 的等边三角形，2

23、其面积为 ( )2 ，34 2 32设点 O 到平面 VAB 的距离为 h，则 V 三棱锥 O VAB S VABh13 h V 三棱锥 V AOB ，13 32 1614解得 h ，33即点 O 到平面 VAB 的距离是 .3312.如图所示， ABCD 是正方形， PA平面 ABCD， E， F 分别是 AC， PC 的中点，PA2， AB1，则三棱锥 C PED 的体积为_答案 16解析 PA平面 ABCD， PA 是三棱锥 P CED 的高， PA2. ABCD 是正方形， E 是 AC 的中点， CED 是等腰直角三角形AB1，故 CE ED ，22S CED CEED .12 12

24、 22 22 14故 VC PED VP CED S CEDPA13 2 .13 14 1613在等腰梯形 ABCD 中， AB CD， AD DC a， ABC60，平面 ACEF平面 ABCD，四边形 ACEF 是平行四边形，点 M 在线段 EF 上(1)求证： BC平面 ACEF；(2)当 FM 为何值时， AM平面 BDE？证明你的结论(1)证明 在等腰梯形 ABCD 中，AB CD， AD DC a， ABC60， ADC 是等腰三角形，且 BCD ADC120， DCA DAC30， ACB90，即 BC AC.15又平面 ACEF平面 ABCD，平面 ACEF平面 ABCD AC

25、， BC平面 ABCD， BC平面 ACEF.(2)解 当 FM a 时， AM平面 BDE.33证明如下：设 AC BD N，连结 EN，如图 ACB90， ABC60， BC a， AC a， AB2 a， CN NA12，3四边形 ACEF 是平行四边形， EF AC a.3 AM平面 BDE， AM平面 ACEF，平面 ACEF平面 BDE NE， AM NE，四边形 ANEM 为平行四边形， FM ME12， FM EF AC .13 13 3a3当 FM a 时， AM平面 BDE.3314.如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，

26、A1AB60， E， F 分别是 AB1， BC 的中点(1)求证：直线 EF平面 A1ACC1；(2)在线段 AB 上确定一点 G，使平面 EFG平面 ABC，并给出证明(1)证明 连结 A1C， A1E.侧面 A1ABB1是菱形， E 是 AB1的中点，16 E 也是 A1B 的中点，又 F 是 BC 的中点， EF A1C. A1C平面 A1ACC1， EF平面 A1ACC1，直线 EF平面 A1ACC1.(2)解 当 时，平面 EFG平面 ABC，BGGA 13证明如下：连结 EG， FG.侧面 A1ABB1是菱形，且 A1AB60， A1AB 是等边三角形， E 是 A1B 的中点， ， EG AB.BGGA 13平面 A1ABB1平面 ABC，且平面 A1ABB1平面 ABC AB， EG平面 A1ABB1， EG平面 ABC.又 EG平面 EFG，平面 EFG平面 ABC.