江苏省2019高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲解析几何的综合问题学案.doc

1、1第 3 讲 解析几何的综合问题考情考向分析 江苏高考解析几何的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求热点一 最值、范围问题例 1 (2018南通模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的左顶点，右焦点分别为 A， F，右x2a2 y2b2准线为 m，(1)若直线 m 上不存在点 Q，使 AFQ 为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；(2)在(1)的条件下，当 e

2、取最大值时， A 点坐标为(2,0)，设 B， M， N 是椭圆上的三点，且 ，求以线段 MN 的中点为圆心，过 A， F 两点的圆的方程OB 35OM 45ON 解 (1)设直线 m 与 x 轴的交点是 R，依题意 FR FA，即 c a c， a2 c， 12 ， 12 e，a2c a2c ac ca 1e2e2 e10,0b0)的离心率为 ，焦点x2a2 y2b2 22到相应准线的距离为 1，点 A， B， C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 C 的直线l 交椭圆于点 D，交 x 轴于点 M(x1,0)，直线 AC 与直线 BD 交于点 N(x2， y2)(1)求椭圆的标准方程

3、；(2)若 2 ，求直线 l 的方程；CM MD (3)求证： x1x2为定值8(1)解 由椭圆的离心率为 ，焦点到对应准线的距离为 1.22得Error! 解得Error!所以椭圆的标准方程为 y21.x22(2)解 由(1)知 C(0,1)，设 D(x0， y0)，由 2 ，得 2y01，所以 y0 ，CM MD 12代入椭圆方程得 x0 或 ，62 62所以 D 或 D ，(62， 12) ( 62， 12)所以 kl 或 kl . 12 162 0 62 12 1 62 0 62所以直线 l 的方程为 x2 y20 或 x2 y20.6 6(3)证明 设 D(x3， y3)，由 C(0

4、,1)， M(x1,0)可得直线 CM 的方程为 y x1, 1x1联立椭圆方程得Error!解得 x3 ， y3 .4x1x21 2 x21 2x21 2由 B( ，0) ，得直线 BD 的方程为2y (x )，x21 2 2x21 4x1 22 2因为点 N(x2， y2)在直线 BD 上，所以 y2 (x2 )，x21 2 2x21 4x1 22 2直线 AC 的方程为 y x1，22因为点 N(x2， y2)在直线 AC 上，所以 y2 x21，22联立得 x2 ，2x1从而 x1x22 为定值91(2017江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 1( a b0)的左、右

5、x2a2 y2b2焦点分别为 F1， F2，离心率为 ，两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，12过点 F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线 l2.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若直线 l1， l2的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标解 (1)设椭圆的半焦距为 c.因为椭圆 E 的离心率为 ，两准线之间的距离为 8，12所以 ， 8，解得 a2， c1，ca 12 2a2c于是 b ，a2 c2 3因此椭圆 E 的标准方程是 1.x24 y23(2)由(1)知， F1(1,0)， F2(1,0)设 P(x0， y0)，因为 P

6、为第一象限的点，故 x00， y00.当 x01 时， l2与 l1相交于 F1，与题设不符当 x01 时，直线 PF1的斜率为 ，y0x0 1直线 PF2的斜率为 .y0x0 1因为 l1 PF1， l2 PF2，所以直线 l1的斜率为 ，x0 1y0直线 l2的斜率为 ，x0 1y0从而直线 l1的方程为 y (x1)，x0 1y0直线 l2的方程为 y (x1)x0 1y0由，解得 x x0， y ，x20 1y010所以 Q .( x0，x20 1y0 )因为点 Q 在椭圆上，由对称性，得 y0，x20 1y0即 x y 1 或 x y 1.20 20 20 20又点 P 在椭圆上，故

7、 1.x204 y203由Error! 解得 x0 ， y0 ，477 377由Error! 无解因此点 P 的坐标为 .(477， 377)2(2018苏州调研)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，焦距为 x2a2 y2b22，一条准线方程为 x2， P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1交椭圆 C 于另一点 Q.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 P 的坐标为 ，求过 P， Q， F2三点的圆的方程；(0， b)(3)若 ，且 ，求 的最大值F1P QF1 12， 2 OP OQ 解 (1)由题意得Error!解得 c1， a22，所以 b2 a2 c21.所以

8、椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)因为 P(0,1)， F1(1,0)，所以 PF1的方程为 x y10.由Error! 解得Error!或Error! 所以点 Q 的坐标为 .(43， 13)设过 P， Q， F2三点的圆为 x2 y2 Dx Ey F0，则Error!解得 D ， E ， F .13 13 43所以圆的方程为 x2 y2 x y 0.13 13 43(3)设 P ， Q ，则 ( x11， y1)， (1 x2， y2)(x1， y1) (x2， y2) F1P QF1 因为 ，F1P QF1 所以Error! 即Error! 11所以 2y 1， y 1， 1 x2

9、22 2 x22 2解得 x2 .1 32所以 x1x2 y1y2 x2 y x (1 )x2 OP OQ ( 1 x2) 2 22 2 2(1 32 ) (1 )1 32 ，74 58( 1 )因为 ，所以 2，当且仅当 ，12， 2 1 1即 1 时取等号所以 ，即 的最大值为 .OP OQ 12 OP OQ 12A 组 专题通关1已知抛物线 x22 py(p0)的焦点 F 是椭圆 1( ab0)的一个焦点，若 P， Q 是椭y2a2 x2b2圆与抛物线的公共点，且直线 PQ 经过焦点 F，则该椭圆的离心率为_答案 12解析 方法一 由抛物线方程，得焦点为 F .(0，p2)由椭圆方程，可

10、得上焦点为(0， c)，故 c，p2将 y c 代入椭圆方程可得 x .b2a又抛物线通径为 2p，所以 2p 4 c，2b2a所以 b2 a2 c22 ac，即 e22 e10，解得 e 1.2方法二 如图所示，由抛物线方程以及直线 y ，p212可得 Q .(p，p2)又 c，即 Q(2c， c)，p2代入椭圆方程可得 1，c2a2 4c2b2化简可得 e46 e210，解得 e232 ， e232 1(舍去)，2 2即 e 1(负值舍去)3 22 22若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为_OP FP 答案 6解析 由

11、题意得 F(1,0)，设点 P(x0， y0)，则 y 3 (2 x02)20 (1x204) x0(x01) y x x0 yOP FP 20 20 20 x x03 (x02) 22.20 (1x204) 14又因为2 x02，所以当 x02 时， 取得最大值 6.OP FP 3已知两定点 A(1,0)和 B(1,0)，动点 P(x， y)在直线 l： y x2 上移动，椭圆 C 以A， B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为_答案 105解析 A(1,0)关于直线 l： y x2 的对称点为A(2,1)，连结 A B 交直线 l 于点 P，则椭圆 C 的长轴长的最小值为A

12、 B ，1 22 1 1013所以椭圆 C 的离心率的最大值为 .ca 1102 1054如图，已知 F1， F2是椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线x2a2 y2b2段 PF2与圆 x2 y2 b2相切于点 Q，且点 Q 为线段 PF2的中点，则椭圆 C 的长轴长是短轴长的_倍答案 32解析 连结 PF1， OQ，则 PF12 OQ2 b， PF1 PF2，由 PF PF F1F ，得(2 b)2(2 a2 b)2(2 c)2，21 2 2解得 ，故 .ba 23 2a2b 325(2018江苏省扬州树人学校模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1

13、( ab0)的x2a2 y2b2短轴长为 2 ，离心率为 .263(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 A 为椭圆 C 的上顶点，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 A 作 AM 的垂线 AN 与椭圆 C交于另一点 N，若 AMN60，求点 M 的坐标解 (1)因为椭圆 C 的短轴长为 2 ，离心率为 ，263所以Error! 解得Error!所以椭圆 C 的方程为 1.x26 y22(2)因为 A 为椭圆 C 的上顶点，所以 A(0， )2设 M(m,0)(m0)，则 kAM .2m又 AM AN，所以 kAN ，m2所以直线 AN 的方程为 y x .m2 2由Error! 消去 y，整

14、理得(23 m2)x212 mx0，14所以 xN ， yN ， 12m3m2 2 m2 12m3m2 2 2所以 AN ，xN 02 yN 222 m22 12m3m2 2在 Rt AMN 中，由 AMN60，得 AN AM，3所以 ，解得 m .2 m22 12m3m2 2 3 2 m2 63所以点 M 的坐标为 .(63， 0)6已知椭圆 C： y21(常数 m1)，点 P 是 C 上的动点， M 是右顶点，定点 A 的坐标为x2m2(2,0)(1)若 M 与 A 重合，求 C 的焦点坐标；(2)若 m3，求 PA 的最大值与最小值；(3)若 PA 的最小值为 MA，求 m 的取值范围解

15、 (1) m2，椭圆方程为 y21， c ，x24 4 1 3左、右焦点坐标为( ，0)，( ，0)3 3(2)m3，椭圆方程为 y21，设 P(x， y)，则x29PA2( x2) 2 y2( x2) 21x29 2 (3 x3)，89(x 94) 12当 x 时，( PA)min ，94 22当 x3 时，( PA)max5.(3)设动点 P(x， y)，则PA2( x2) 2 y2( x2) 21x2m2 2 5( m x m)，m2 1m2 (x 2m2m2 1) 4m2m2 1当 x m 时， PA 取最小值，且 0，m2 1m2 m 且 m1，2m2m2 1解得 1 m1 .215

16、7(2018江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 ，焦点为 F1( ，0)，(3，12) 3F2( ，0)，圆 O 的直径为 F1F2.3(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程；(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P.若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点若 OAB 的面积为 ，求直线 l 的方程267解 (1)因为椭圆 C 的焦点为 F1( ，0)， F2( ，0)，3 3可设椭圆 C 的方程为 1( a b0)x2a2 y2b2又点 在椭圆 C 上，(3，12)所以Error! 解得Error!

17、因此，椭圆 C 的方程为 y21.x24因为圆 O 的直径为 F1F2，所以其方程为 x2 y23.(2)设直线 l 与圆 O 相切于点 P(x0， y0)(x00， y00)，则 x y 3，20 20所以直线 l 的方程为 y (x x0) y0，x0y0即 y x .x0y0 3y0由Error! 消去 y，得(4x y )x224 x0x364 y 0.(*)20 20 20因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 (24 x0)24(4 x y )(364 y )20 20 2048 y (x 2)0.20 20因为 x00， y00，所以 x0 ， y01.2因此，点 P

18、 的坐标为( ，1)216因为 OAB 的面积为 ，267所以 ABOP ，从而 AB .12 267 427设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由(*)得 x1,2 ，24x0 48y20x20 224x20 y20所以 AB2( x1 x2)2( y1 y2)2 .(1x20y20) 48y20x20 24x20 y202因为 x y 3，20 20所以 AB2 ，即 2x 45 x 1000，16x20 2x20 12 3249 40 20解得 x (x 20 舍去)，则 y ，2052 20 20 12代入 48 y (x 2)0，满足题意，20 20因此点 P 的坐标为 .

19、(102， 22)所以直线 l 的方程为 y x3 ，即 x y3 0.5 2 5 2B 组 能力提高8.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，焦点在 x 轴上的椭圆 C： 1 经过点( b,2e)，其x28 y2b2中 e 为椭圆 C 的离心率过点 T(1,0)作斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点( A 在x 轴下方)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M， N，求 的值；ATBTMN217(3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P.若 ，求直线 l 的斜率 k.AP 25TB 解 (1)因为椭圆 1 经过点( b,2e)

20、，x28 y2b2所以 1.b28 4e2b2因为 e2 ，所以 1.c2a2 c28 b28 c22b2因为 a2 b2 c2，所以 1.b28 8 b22b2整理得 b412 b2320，解得 b24 或 b28(舍) .所以椭圆 C 的标准方程为 1.x28 y24(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)因为 T(1,0)，所以直线 l 的方程为 y k(x1)联立直线 l 与椭圆方程得Error!消去 y，得(2 k21) x24 k2x2 k280，所以 x1,2 ，4k216k4 42k2 12k2 822k2 1所以Error!因为 MN l，所以直线 MN 的方程为

21、y kx，联立直线 MN 与椭圆方程得Error!消去 y，得 (2 k21) x28，解得 x2 .82k2 1因为 MN l，所以 .ATBTMN2 1 x1x2 1xM xN2因为(1 x1)(x21) x1x2( x1 x2)1 ，72k2 1(xM xN)24 x2 ，322k2 1所以 ATBTMN2 1 x1x2 1xM xN2 .72k2 1 2k2 132 732(3)在 y k(x1)中，令 x0，18则 y k，所以 P(0， k)，从而 ( x1， k y1)， ( x21， y2)AP TB 因为 ，AP 25TB 所以 x1 (x21)，即 x1 x2 .25 25

22、 25由(2)知Error!由Error!解得 x1 ， x2 . 4k2 232k2 1 16k2 232k2 1因为 x1x2 ，2k2 82k2 1所以 ， 4k2 232k2 1 16k2 232k2 1 2k2 82k2 1整理得 50k483 k2340，解得 k22 或 k2 (舍) .1750又因为 k0，所以 k .29.如图，椭圆 C： 1( a b0)的顶点分别为 A1， A2， B1， B2， 12ABS四 边 形 4，直x2a2 y2b2线 y x 与圆 O： x2 y2 b2相切2(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 A1

23、P 交 y 轴于点 F，直线 A1B1交直线 B2P 于点E，问直线 EF 是否过定点若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由解 (1)因为直线 y x 与圆 O 相切，由点到直线的距离公式得， b，2|0 0 2|12 12 22即 b1.又 12ABS四 边 形 4，所以 2a2b4，所以 a2，12所以椭圆 C 的方程为 y21，x2419离心率 e .ca 32(2)由题意知直线 B2P 的斜率存在，设直线 B2P 的斜率为 k，由(1)可知， A1(2,0)，B1(0，1)， B2(0,1)，则直线 B2P 的方程为 y kx1.由Error! 得(14 k2)x28 kx0，其中

24、 xB20，所以 xP .8k1 4k2所以 P ，易知 k0，且 k .(8k1 4k2， 1 4k21 4k2) 12则直线 A1P 的斜率 1APk ，1 4k21 4k2 8k1 4k2 2 2k 122k 1直线 A1P 的方程为 y (x2)，2k 122k 1令 x0，则 y ，即 F .2k 12k 1 (0， 2k 12k 1)易知直线 A1B1的方程为 x2 y20，由Error! 解得Error!所以 E ，(42k 1， 2k 12k 1)所以直线 EF 的斜率 k0 ， 2k 12k 1 2k 12k 142k 1 2k2k 1所以直线 EF 的方程为 y x ，2k2k 1 2k 12k 1即 2k(x y1)( y1)0，由Error! 得Error!所以直线 EF 过定点(2,1)